Laguerre polynomier

Laguerre polynomier
generel information
Formel	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)$
Skalært produkt	$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Domæne	$x\ge0$
yderligere egenskaber
Differentialligning	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Opkaldt efter	Laguerre, Edmond Nicolas

I matematik er Laguerre-polynomierne , opkaldt efter Edmond Laguerre (1834-1886), de kanoniske løsninger af Laguerre-ligningen :

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

som er en andenordens lineær differentialligning . I fysisk kinetik kaldes disse samme polynomier (nogle gange op til normalisering) sædvanligvis Sonin eller Sonin-Laguerre polynomier [1] . Laguerre polynomier bruges også i Gauss-Laguerre kvadraturformlen til den numeriske beregning af integraler af formen:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

Laguerre polynomier, normalt betegnet som , er en sekvens af polynomier, der kan findes ved hjælp af Rodrigues formlen $L_0,\;L_1,\;\ldots$

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n} _{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\vælg k}x^k.

Disse polynomier er ortogonale i forhold til hinanden med et prikprodukt :

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Rækkefølgen af Laguerre-polynomier er Schaeffer-sekvensen .

Laguerre polynomier bruges i kvantemekanik, i den radiale del af løsningen af Schrödinger-ligningen for et atom med en elektron.

Der er andre anvendelser af Laguerre polynomier.

Et par første polynomier

Følgende tabel viser de første par Laguerre polynomier:

Laguerre polynomier kan defineres ved den rekursive formel:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad \forall k\geqslant 1,

foruddefinering af de to første polynomier som:

L_0(x)=1,

L_1(x)=1-x.

Generaliserede Laguerre polynomier er løsninger til ligningen: $L_n^a(x)$

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

så . $L_n(x)=L_n^0(x)$

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier