Multivektor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2020; checks kræver 10 redigeringer .

En multivektor er et element i den eksterne algebra , som er summen af polyvektorer (vektorer, bivektorer, trivektorer osv.).

Enhver polyvektor (k-vektor) kan repræsenteres som en sum af k-blade (simple k-vektorer), hvor hvert k-blad igen kan dekomponeres til et ydre produkt af k vektorer.

En 2-klinge kan repræsenteres geometrisk som et orienteret plan i rummet af enhver dimension og kan bruges til at repræsentere rotation i det.

En n-vektor i et n-dimensionelt rum kaldes en pseudoskalær , mens en (n-1)-vektor kaldes en pseudovektor . Så en pseudovektor af tredimensionelt rum er enhver bivector.

Summen af en 1-vektor og en skalar er også kendt som en paravektor .

k-vektor er dobbelt til k-form .

Ejendomme:

Ethvert lineært uafhængigt system af vektorer fra definerer en ikke-nul k-vektor; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k))$ $V$
Lineært uafhængige systemer og generere det samme underrum i hvis og kun hvis ; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{k))$ $V$
${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{k}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{k))$
For enhver ikke-nul polyvektor er dens annihilator et underrum af dimension , og polyvektoren er nedbrydelig hvis og kun hvis ; $t\in \bigwedge \nolimits ^{k}V$ $\operatørnavn {Ann}t=\{v\in V|t\wedge v=0\}$ $\leq k$ $t$ $\dim \operatørnavn {Ann} t=k$
De nedbrydelige k-vektorer af et n - dimensionelt rum V danner en keglealgebraisk varietet til den tilsvarende projektive algebraiske variant er Grassmann-varianten ; $\Lambda ^{k}(V)$
Enhver ikke-nul n - vektor eller ( n − 1) -vektor i n -dimensionelt rum er nedbrydelig;
Bivector er nedbrydelig, hvis og kun hvis ; $t$ $t\kile t=0$
Hvis vi fikserer en ikke-nul- vektor , opstår der en naturlig isomorfisme: $n$ $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)$ $\pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$ sådan for alle . $t\kile u=\langle \pi (t),u\rangle \omega$ $u\in \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$

Noter

Litteratur

Kostrikin A.P., Manin Yu.I. Linear Algebra and Geometry (utilgængeligt link) , - Nauka, Moskva, 1980.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.