Kabys metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. juli 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Galejmetoden (gennemstregningsmetoden)  er en delingsmetode , der var mest brugt i Europa indtil omkring 1600-tallet, og fortsatte med at være populær indtil slutningen af ​​1700-tallet [4] . Metoden er opstået på baggrund af kinesiske og indiske metoder. Metoden er nævnt af Al-Khwarizmi i værkerne fra 825 [4] , af Luca Pacioli i 1492 [3] .

I modsætning til tidligere metoder blev tallene i denne metode ikke slettet, men streget over [4] . Det ligner den moderne metode til opdeling med en søjle , men i kabyssen-metoden fortsatte subtraktionen af ​​delprodukter fra venstre mod højre og ikke fra højre mod venstre, som i moderne metoder.

Metoden har fået sit navn for ligheden mellem de linjer, der blev registreret under beregningen, med silhuetten af ​​fartøjet af samme navn [4] [3] . Samtidig lignede de skrå linjer, der blev brugt til at krydse tallene ud, om årer. Nogle gange, for at opnå en lighed, skal tegningen roteres 90° [5] .

En lignende metode blev også brugt til at udtrække rødderne .

Historie

Aritmetiske operationer med stigende talkapacitet bliver meget besværlige og følsomme over for mekaniske fejl, og division er den sværeste af dem. "Svær forretning er splittelse" ( italiensk  dura cosa e la partita ) var et gammelt italiensk udtryk [6] :40 .

Selvom deling blev betragtet som en vanskelig operation i Europa indtil det 15. århundrede, blev deling ikke anset for at være særlig vanskelig i Kina og Indien [4] [7] . Opdelingsmetoden er nævnt i " Matematik i ni bøger " (2. århundrede e.Kr.) og er beskrevet detaljeret i Mathematical Treatise Sun Tzu (3.-5. århundrede) [4] . Mange indiske værker om matematik beskriver ikke divisionsmetoden, forudsat at den er kendt. For eksempel skriver Aryabhata (499) ikke om opdelingsmetoden , selvom delingsmetoden utvivlsomt var kendt af hans læsere, da Aryabhata beskriver en metode til at udvinde rødder, der kræver division. I indisk matematik nævnes en divisionsmetode svarende til kinesisk første gang af Sridhari (ca. 800). En detaljeret beskrivelse af metoden er givet af Aryabhata II i det X århundrede [7] .

Den indiske metode blev udført i sand eller kridt på en tavle. Den kinesiske metode brugte pinde som tal. I begge tilfælde var tallene nemme at slette. I disse metoder blev divisor skrevet under udbyttet. Som i den moderne kolonneopdelingsmetode blev delprodukter trukket fra dividenden (det vil sige divisorens produkter med hvert ciffer i svaret, forskudt med det passende antal cifre). Men i modsætning til den moderne metode blev det gamle udbytte slettet, og forskellen blev skrevet på sin plads, mens selve delproduktet ikke blev skrevet ned, og ikke engang blev beregnet, og subtraktionen skete lidt efter lidt fra venstre mod højre. Derefter blev divisoren flyttet et ciffer til højre (denne operation i middelalderens Europa blev kaldt anterioratio på latin ) [7] [4] . I den kinesiske (og muligvis i den indiske metode) blev kvotienten skrevet over divisoren [4] .

Denne metode blev kendt af araberne, begyndende med Al-Khwarizmis værker (825) [7] [4] . Derfra kom denne metode til Europa [7] . I Europa blev opdelingen udført med blæk på papir, på grund af dette undergik delingsmetoden en naturlig modifikation på grund af, at tallene ikke blev slettet, men streget over [3] [7] [4] . Ved at trække delprodukter fra divisoren blev resultatet skrevet ovenpå. Det blev upraktisk at skrive kvotienten over udbyttet, de begyndte at skrive den til højre [4] . Denne modifikation blev kendt som kabysmetoden ( galea, batello ) [7] , briterne kaldte også denne metode for scratch-metoden [5] [ 7 ] . 

Den berømte italienske matematiker Niccolò Tartaglia (XVI århundrede) skrev i sin berømte aritmetiske lærebog følgende om metoden [6] :41 :

Den anden opdelingsmetode kaldes i Venedig en båd eller en kabys på grund af en vis lighed med figuren, der er resultatet heraf, fordi der ved inddelingen af ​​nogle slags tal dannes en figur, der ligner en båd, og i andre - som en kabys, som er virkelig smuk; nogle gange er en kabys velbearbejdet og udstyret med alt tilbehør - den er lagt ud fra tallene på en sådan måde, at den virkelig fremstår i form af en kabys med hæk og stævn, mast, sejl og årer.

Originaltekst  (italiensk)[ Visskjule] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura all similitudine di vno batello, materiale, & i alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso in talmente, dispositione paiono veramente vna figura simile alle detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Det er interessant at bemærke, at blækgalejmetoden blev bragt tilbage til Kina fra Europa og offentliggjort i en afhandling om europæisk aritmetik 1613 [4] .

I Rusland blev kabysmetoden brugt indtil midten af ​​det 18. århundrede: i "Aritmetikken" af Leonty Magnitsky er den beskrevet blandt de seks opdelingsmetoder, der foreslås der og anbefales især af forfatteren; under hele præsentationen af ​​materialet i sin bog bruger Magnitsky hovedsageligt kabyssmetoden uden at nævne selve navnet [6] :41,42 .

Konkurrerende med kabysmetoden var den såkaldte "italienske metode" [3] (eller "gyldne inddeling" [5] ), som nu er kendt som kolonneopdeling . Denne metode optrådte på tryk i 1491 i "Aritmetik" [8] af Calandri , selvom den endnu tidligere blev fundet i manuskripter fra det 15. århundrede [3] . I den blev delproduktet eksplicit beregnet og skrevet under udbyttet, derefter trukket fra udbyttet, og resultatet blev skrevet nedenfor. Subtraktionen blev udført, som i den sædvanlige kolonneaddition , startende fra de mindst signifikante cifre, hvilket gjorde det muligt at spare på optagelsen, men samtidig var det nødvendigt at huske overførslen af ​​udledningen i sindet [3] . Den største fordel ved denne metode er, at alle handlinger er synlige fra dens optagelse - dette gør det lettere at kontrollere beregninger og hurtigt rette fejl. Ulempen ved denne metode er dog, at du i den skal gange flercifrede tal med encifrede [5] .

Efterfølgende dukkede en forkortet divisionsmetode ("østrigsk metode") op. Det lignede italiensk, men i modsætning til det, som i kabyssen-metoden, blev delprodukter ikke eksplicit beregnet - de blev straks trukket fra lidt efter lidt. Men i modsætning til kabysmetoden blev der foretaget subtraktioner med udgangspunkt i de mindst signifikante cifre, hvilket gjorde det muligt at spare på optagelsen. Denne metode kombinerede således fordelene ved kabysmetoden og den italienske metode [3] . Ulempen ved denne metode er, at lommeregneren skal gemme mere information i sindet.

Alle disse metoder konkurrerede i Europa med "jerndeling": abacus- delingsmetoden beskrevet af matematikermunken Herbert (fremtidige pave Sylvester II) [5] .

Essensen af ​​metode

Kabyssen metoden, selvom den er sværere at skrive, ligner den moderne opdeling efter kolonne metode . Ligesom ved division med en kolonne, beregnes kvotienten med cifre, begyndende med det mest signifikante ciffer: ved hvert trin vælges et ciffer af kvotienten. Det største ciffer tages som det private ciffer, således at delproduktet (produktet af dette ciffer og divisoren forskudt med det tilsvarende antal cifre) kan trækkes fra dividenden, mens det forbliver i positive tal. Derefter trækkes delproduktet fra dividenden, selve divisoren flyttes en smule til venstre, og processen gentages. I modsætning til moderne division med en kolonne beregnes delproduktet i kabysmetoden ikke, og subtraktionen sker med cifre fra venstre mod højre. Også i kabyssen-metoden skrives resultatet af subtraktionen øverst, ikke nederst.

Eksempel

Overvej et eksempel fra Treviso Arithmetic (1478), hvor 65284 er divideret med 594 [4] . Eksemplet er opdelt i flere trin: ved hvert trin er de tal, der tilføjes i dette trin, med fed skrift, og de tal, der er overstreget, er i kursiv. For at lette opfattelsen er tallene, som handlinger udføres med, fremhævet i farver; faktisk blev der kun brugt én farve blæk i metoden.

Først blev divisor ( 594 ) skrevet under dividenden ( 65284 ):

65284 594

Trin 1: Divisor 594 indtaster kun 652 én gang . Så det første ciffer i kvotienten er 1 . Vi skriver det til højre og trækker fra udbyttet 1 × 594 (forskudt med to cifre). I kabyssen-metoden gøres dette fra venstre mod højre: først trækkes det første ciffer (5), derefter det andet ciffer (9) og til sidst det sidste ciffer (4) fra de tilsvarende cifre.

652 84 | 1 594 Trin 1 : 594 indtaster 652 én gang .

1 6 5284 | 1 5 94 Trin 1a: 6 − 5 = 1

1 6 6 5 284 | 1 5 9 4 Trin 1b: 15 − 9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4 Trin 1c: 62 − 4 = 58

Trin 2: Skift divisor en smule til højre ( anterioratio ). Da den resulterende offset divisor ( 594 ) er større end hvad der er tilbage af dividenden ( 588 ...), kan vi ikke trække divisoren fra én gang, hvilket betyder, at det andet ciffer i kvotienten er 0 :

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59 Trin 2: 594 går ind i 588 nul gange.

Trin 3: Flyt divisoren en smule mere til højre. Nu skal vi trække 594 fra 5884 . Dette kan gøres 9 gange. Skriv 9 som en kvotient og træk 9 × 594 fra udbyttet . I dette tilfælde beregner vi ikke 9 × 594 , men trækker blot 9 × 5 , 9 × 9 og 9 × 4 fra de tilsvarende cifre.

5 16 8 652 84  | 10 9 5944 4 59 9 5 Trin 3: 594 går ind i 5884 ni gange.

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5 Trin 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5 Trin 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4  | 10 9 5944 4 599 5 Trin 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Svar: at dividere 65284 med 594 giver kvotienten 109 og resten er 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284  | 109 59444 599 5 Fuldt beregningsresultat

Sammenligning med andre metoder

Til sammenligning præsenterer vi den samme opdeling, udført med sletning af tal, samt italienske og østrigske metoder [3] . Som nævnt ovenfor adskiller disse metoder sig i den måde, de trækker delproduktet fra. For eksempel trækker det sidste trin partialproduktet af 9×594 fra. I den italienske metode beregnes først 9×594=5346, og derefter trækkes resultatet fra. I kabysmetoden og i metoden med sletning af cifre beregnes produktet ikke, men trækkes sekventielt fra: 9×500, 9×90, 9×4. Samtidig skrives resultatet i metoden med sletning af tal i stedet for det fratrukne, og i kabyssen skrives det ovenpå, og de gamle tal er streget over. Endelig, i den østrigske metode, er produktet heller ikke beregnet, men subtraheret sekventielt: 9×4, 9×90, 9×500. Da subtraktionerne starter med de lavere bits, skrives der kun én bit ved hvert trin, og den mest signifikante bit overføres , hvilket giver dig mulighed for at forkorte notationen, men kræver, at du husker carry i dit sind.

Ciffersletningsmetode

65284 |  594  594 | 109 5884 5346 538 italiensk metode

65284 |  594  5884 | 109 538     østrigsk metode

Indstillinger

Ingen gennemstregede tal

Nogle gange blev tallene ikke streget over. I dette tilfælde blev kun de højeste og laveste cifre taget i betragtning. I dette tilfælde blev der i stedet for gennemstregning skrevet nuller øverst i kolonnen. Se illustrationen i begyndelsen af ​​artiklen.

Med beregning af delprodukter

Nogle gange blev der beregnet delprodukter. Denne mulighed adskiller sig praktisk talt ikke fra den moderne opdeling med en kolonne. Den eneste forskel er, hvor tallene er skrevet: kabyssmetoden bruger mindre papir, da tallene er skrevet mere kompakt, uden tomrum mellem dem. Men når man dividerer med en kolonne, er beregningerne mere synlige og nemmere at kontrollere.

Som et eksempel på denne mulighed kan du overveje at dividere 44977 med 382 [2] . Et tal svarer til at få én decimal af kvotienten.

1) 67 (Multiplikation: 1 x382= 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Forskel: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Multiplikation: 1 x382= 382 ) 67 5 (Forskel: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Multiplikation: 7 x382= 2674 ) 29 8 (Forskel: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Svar: Privat 117 , resten 283 . 3822 4 38 7 26

Divisionskontrol

Der var en metode til at kontrollere resten af ​​division med et lille tal. Oftest blev metoden til at kontrollere efter rester med 9 brugt, da resten, når det divideres med 9 , er meget let at finde: bare find summen af ​​cifrene i tallet. Denne verifikationsmetode fangede dog ikke almindelige fejl, når cifferet faldt det forkerte sted. Derfor blev der også brugt mere pålidelige, men komplicerede metoder: at kontrollere resten for 7 eller 11.

Essensen af ​​metoden er som følger. Antag, at når vi dividerer et tal med, får vi en ufuldstændig kvotient og en rest . Det betyder, at . For at kontrollere denne lighed blev resten af ​​, , og for et lille antal (f.eks. 9) beregnet. Lad disse rester være henholdsvis , , og . Så og skal have den samme rest.

Disse rester blev skrevet i form af et "flag": Nogle gange blev der brugt et kryds × i stedet for et kryds + .

For eksempel fik Niccolo Tartaglia [1] :34 ved at dividere 912345 med 1987 459 og 312 i resten. For at kontrollere dette tog han resten af ​​disse tal, når de blev divideret med syv: 912 345 giver en rest af 0, 1987 giver 6, 459 giver 4, 312 giver 4. Tartaglia skriver dette som. Så tjekker han, at det er deleligt med syv med en rest på 0. Så resultatet bestod testen [9] .

Udvinding af rødder

En lignende metode blev brugt til at udvinde rødder . Ligesom ved division var svaret i cifre.

For at udtrække kvadratrødder ved hvert trin blev kvadratet af det allerede opnåede delsvar trukket fra tallet. Til dette blev formlen brugt . Nemlig, hvis der på et eller andet trin tildeles en figur til delsvaret (det vil sige et nyt delsvar ), så skal vi trække fra det oprindelige tal . Men vi trak allerede fra i det forrige trin. Så vi er nødt til at trække fra . For at gøre dette, i kabyssen metoden, blev tallet skrevet nedenfor, figuren blev skrevet til højre, og derefter blev delproduktet trukket fra, som i den sædvanlige metode [11] .

Ved udvinding af rødder af højere grader blev Newtons binomiale brugt , som var kendt allerede før Newton [12] .

Noter

1. ↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Første bog // General trattato di numeri, et misure. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
2. ↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. En historie om matematik . — John Wiley & Sons, 2011-01-25. - 680 s.
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Pure Mathematics // Universets videnskabshistorie / Francis Rolt-Wheeler (managing editor). New York: Current Literature Pub. Co.. - Vol. VIII. — 354 s. - S. 48-52. Arkiveret 19. februar 2020 på Wayback Machine
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. Om den kinesiske oprindelse af Galley Method of Arithmetical Division  (engelsk)  // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Bd. 3 , iss. 1 . - S. 66-69 . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Arkiveret fra originalen den 10. april 2019.
5. ↑ 1 2 3 4 5 Encyklopædi for børn . T. 11. Matematik / Kapitel. udg. M. D. Aksyonova. - M .: Avanta +, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
6. ↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Underholdende aritmetik. - 8. udg. - M . : Detgiz , 1954. - 100.000 eksemplarer.
7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Del I: Numerisk notation og aritmetik // History of Hindu Mathematics: A Source Book . - 1962. - S. 150.
8. ↑ Filippo Calandri. Aritmetica  (italiensk) / Lorenzo Morgiani og Johann Petri. — 1491.
9. ↑ Florian Cajori. En historie om matematiske notationer . — Courier Corporation, 2013-09-26. - S. 260-261. — 865 s.
10. ↑ Nicolo Tartaglia . Anden bog // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
11. ↑ Graham Flegg. Tal: Deres historie og betydning . — Courier Corporation, 2013-05-13. - S. 133. - 307 s.
12. ↑ David E. Smith. Matematikkens historie . - Kurerselskab, 1958-06-01. - S. 148. - 739 s.