Tegn på delelighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. januar 2022; checks kræver 7 redigeringer .

Delbarhedstegnet er en algoritme , der giver dig mulighed for relativt hurtigt at afgøre, om et tal er et multiplum af et forudbestemt [1] . Hvis tegnet på delelighed giver dig mulighed for at finde ud af ikke kun deleligheden af et tal med et forudbestemt, men også resten af divisionen, så kaldes det tegnet på equiresistance .

Som regel bruges delelighedstegn til manuel optælling og til tal præsenteret i et bestemt positionstalsystem (normalt decimal ).

Begreberne delelighed, ligedelelighed og ligeadskillelse

Hvis for to heltal og der eksisterer et heltal sådan , at $-en$ $b$ $q,$

b\,q=a,

så siger vi at tallet er deleligt med $-en$ $b.$

To heltal og siges at være lige delelige med, hvis enten de begge er delelige med eller begge ikke er delelige med [2] . $-en$ $b$ $m,$ $m,$

To heltal og er ækvidistante , når de divideres med et naturligt tal (eller er sammenlignelige modulo ), hvis de giver den samme rest, når de divideres med, det vil sige, at der er heltal, sådan at $-en$ $b$ $m$ $m$ $m$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Generelle principper for konstruktion

Lad det være nødvendigt at bestemme, om et naturligt tal er deleligt med et andet naturligt tal. For at gøre dette skal du tage en sekvens af naturlige tal: $EN$ $m.$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\dots ,\,A_{n},

sådan at:

$A_{0}=A;$
hvert medlem af sekvensen bestemmes af det foregående;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n-1;$
det sidste medlem af sekvensen er mindre end $m,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
alle medlemmer af en sekvens har den samme rest, når de divideres med $m.$

Så hvis det sidste led i denne sekvens er lig med nul, så er det deleligt med , ellers er det ikke deleligt med. $EN$ $m,$ $EN$ $m$

Metoden (algoritmen) til at konstruere en sådan sekvens vil være det ønskede kriterium for delelighed ved Matematisk kan den beskrives ved hjælp af en funktion, der bestemmer hvert næste medlem af sekvensen, afhængigt af den foregående: $m.$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

der opfylder følgende betingelser:

når værdien ikke er defineret; $x<m$ $f(x)$
når værdi er et naturligt tal; $x\geqslant m$ $f(x)$
hvis da $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
hvis da og svarer til $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

Hvis kravet om ækvidelelighed for alle medlemmer af sekvensen erstattes af et mere stringent krav om ækvi-residualitet, så vil det sidste medlem af denne sekvens være resten af divisionen med, og metoden (algoritmen) til at konstruere en sådan sekvens vil være et tegn på ækvi-residualitet ved På grund af det faktum, at fra ligheden af resten, når det divideres med nul, følger det delelighed med , ethvert tegn på ækviresistance kan bruges som et tegn på delelighed. Matematisk kan tegnet på equiresistance også beskrives ved hjælp af en funktion, der bestemmer hvert næste medlem af sekvensen, afhængigt af den foregående: $EN$ $m,$ $m.$ $m$ $m$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

der opfylder følgende betingelser:

når værdien ikke er defineret; $x<m$ $f(x)$
når værdi er et naturligt tal; $x\geqslant m$ $f(x)$
hvis da $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
hvis derefter og er lige langt, når divideret med $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

Funktionen

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

og sekvensen bygget med dens hjælp vil se sådan ud:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\prikker

Faktisk er brugen af tegnet for equiresistance baseret på denne funktion ækvivalent med division ved subtraktion.

Et andet eksempel er det velkendte tegn på delelighed (såvel som ækvi-residualitet) med 10.

Hvis det sidste ciffer i decimalrepræsentationen af et tal er nul, så er dette tal deleligt med 10; desuden vil det sidste ciffer være resten af at dividere det oprindelige tal med 10.

Matematisk kan dette tegn på lige residualitet formuleres som følger. Lad det være nødvendigt at finde ud af resten efter division med 10 af et naturligt tal repræsenteret i formen $EN,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Så er resten efter at have divideret med 10 . Funktionen, der beskriver dette tegn på ækvi-residualitet, vil se ud $EN$ $-en$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

Det er nemt at bevise, at denne funktion opfylder alle ovenstående krav. Desuden vil sekvensen bygget med dens hjælp kun indeholde et eller to medlemmer.

Det er også let at se, at et sådant tegn er fokuseret specifikt på decimalrepræsentationen af et tal - så hvis du for eksempel anvender det på en computer, der bruger den binære notation af et tal, så for at finde ud af, Programmet skal først divideres med 10. $EN$ $-en$ $EN$

Følgende teoremer bruges oftest til at konstruere tegn på equiresistance og deleibility:

For ethvert heltal og naturlige heltal og er ækvidistante, når de divideres med $q$ $m$ $EN$ $A+mq$ $m.$
For ethvert heltal , naturligt , heltal og er lige delelige med , hvis hele tallet er coprime med $q$ $m$ $EN$ $pA+mq$ $m,$ $s$ $m.$

Et eksempel på at konstruere tegn på delelighed og equiresistance med 7

Lad os demonstrere anvendelsen af disse sætninger ved eksemplet med kriterierne for delelighed og ækvivalent $m=7.$

Lad et heltal være givet

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Så, hvis man antager fra den første sætning , vil det følge, at den vil være ækvidistant, når man dividerer med 7 med tallet $q=-a_{1}$ $EN$

A'=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Lad os skrive funktionen af tegnet for lige residualitet på formen:

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{min} }.\end{cases}}

Og endelig er det tilbage at finde sådan , at betingelsen for enhver er opfyldt I dette tilfælde, og funktionen tager den endelige form: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Og fra den anden sætning, hvis man antager og primer med 7, vil det følge, at det vil være ligedeleligt med 7 med tallet $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $EN$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Givet at tallene og er ligedelelige med 7, skriver vi funktionen af delelighedstegnet i formen: $EN'$ $\venstre|A'\højre|$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{cases}}

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {cases}}

Tegn på delelighed i decimaltalsystemet

Test for delelighed med 2

Et tal er deleligt med 2 , hvis og kun hvis dets sidste ciffer er deleligt med 2, dvs. det er lige .

Funktionstilsvarende funktion (se afsnittet "Generelle principper for konstruktion" ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 3

Et tal er deleligt med 3 , når summen af dets cifre er deleligt med 3. For eksempel er tallet 159 deleligt med 3, fordi summen af dets cifre 1 + 5 + 9 = 15 er deleligt med 3.

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}{\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{sager}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel er tallene 154 og er lige langt, når de divideres med 3. $1+5+4=10$ $1+0=1$

Testen for delelighed med 4

Et tal er deleligt med 4 , når de sidste to cifre er nuller eller er deleligt med 4. For eksempel er 14676 de sidste cifre af 76, og tallet 76 er deleligt med 4: 76:4=19. Et tocifret tal er deleligt med 4, hvis og kun hvis det dobbelte af cifferet på tiere-pladsen, lagt til cifferet på en-pladsen, er deleligt med 4. For eksempel er tallet 42 ikke deleligt med 4, fordi det ikke er deleligt med 4. $2\cdot 4+2=10$

Funktionstilsvarende funktion:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 87 og er lige langt, når de divideres med 4. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

En enklere formulering: Tallet er deleligt med 4, hvis det sidste ciffer er 0, 4, 8, og det næstsidste ciffer er lige; eller hvis det sidste ciffer er 2, 6, og det næstsidste ciffer er ulige.

Tegn på delelighed med 5

Et tal er deleligt med 5 , hvis og kun hvis det ender på 0 eller 5.

Funktionstilsvarende funktion:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 6

Et tal er deleligt med 6 , hvis og kun hvis det er deleligt med både 2 og 3 (det vil sige, hvis det er lige, og summen af dets cifre er deleligt med 3).

Et andet tegn på delelighed: et tal er deleligt med 6, hvis og kun hvis fire gange antallet af tiere, der tilføjes til cifferet på en-pladsen, er deleligt med 6.

Funktionstilsvarende funktion:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 73 og er lige langt, når de divideres med 6. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

Tegn på delelighed med 7

Funktion 1 :

et tal er deleligt med 7 , når tre gange antallet af tiere tilføjet til enhedscifferet er deleligt med 7. For eksempel er 154 deleligt med 7, da 7 er deleligt med 1001 er deleligt med 7, da 7 er deleligt med $15\cdot 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 87 og er lige langt, når de divideres med 7. $8\cdot 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Funktion 1 modifikationer :

a) det første ciffer til venstre tages, ganget med 3, det næste tilføjes, og alt gentages fra begyndelsen: for eksempel for 154 :. På hvert trin kan du også tage resten af divisionen med 7: resten 1, resten 0. I begge tilfælde er det endelige tal lig med resten, når det divideres med 7 med det oprindelige tal. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) hvis to gange antallet af enheder af tallet trækkes fra det resterende antal tiere, og resultatet er deleligt med 7, så er tallet et multiplum af 7. For eksempel: 784 er deleligt med 7, da 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

Funktion 2 :

et tal er deleligt med 7, hvis og kun hvis modulet af den algebraiske sum af tal, der danner ulige grupper af tre cifre (startende med enere), taget med "+" tegnet og lige med "-" tegnet er deleligt med 7. For eksempel er 138 689 257 deleligt med 7, fordi 7 er deleligt med $|138-689+257|=294.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}

Tegn 3 :

hvis forskellen mellem tallet bestående af de sidste tre cifre i et givet tal og tallet dannet af de resterende cifre i et givet tal (det vil sige uden de sidste tre cifre) er deleligt med 7, så er dette tal deleligt med 7 Eksempel på tallet 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Tegn på delelighed med 8

Et tal er deleligt med 8 , når de sidste tre cifre er et tal, der er deleligt med 8. Et trecifret tal er deleligt med 8, hvis og kun hvis cifferet er på eterne, plus det dobbelte ciffer på tierpladsen og firdoblet cifferet på hundredepladsen er deleligt med 8. For eksempel er 952 deleligt med 8, fordi 8 er deleligt med $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{sager}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 567 og er lige langt, når de divideres med 8. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

Tegn på delelighed med 9

Et tal er deleligt med 9 , når summen af dets cifre er deleligt med 9. For eksempel er summen af cifrene i 12345678 deleligt med 9, så selve tallet er også deleligt med 9. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 345 og er lige langt, når de divideres med 9. $3+4+5=12$ $1+2=3$

Tegn på delelighed med 10

Et tal er deleligt med 10 , hvis og kun hvis det ender på nul .

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 11

Funktion 1: Et tal er deleligt med 11 , hvis og kun hvis modulet af forskellen mellem summen af cifrene i ulige positioner og summen af cifrene i lige positioner er deleligt med 11. For eksempel er 9.163.627 deleligt med 11, fordi det er deleligt med 11. Et andet eksempel er 99077 er deleligt med 11, fordi det er deleligt med 11. $\venstre|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22$ $\venstre|(9+0+7)-(9+7)\højre|=0$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \ ,n,

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

Tegn 2: et tal er deleligt med 11, hvis og kun hvis summen af tal, der danner grupper af to cifre (startende med enheder) er deleligt med 11. For eksempel er 103785 deleligt med 11, fordi 11 er deleligt med og $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end {cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 123456 og er lige langt, når de divideres med 11. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Tegn på delelighed med 13

Tegn 1 : Tallet er deleligt med 13 , når summen af antallet af tiere med et firdobbelt ciffer på enhedspladsen er deleligt med 13. For eksempel er 845 deleligt med 13, da 13 er deleligt med og $84+5\cdot 4=104$ $10+4\cdot 4=26.$

Tegn 2 : Tallet er deleligt med 13 , når forskellen mellem antallet af tiere med et nifold tal på enhedspladsen divideres med 13. For eksempel er 845 deleligt med 13, da 13 er deleligt med $84-9\cdot 5=39.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}

Funktion 3 : Et tal er deleligt med 13 , hvis forskellen mellem tallet, der består af de sidste tre cifre i dette tal, og tallet dannet af de resterende cifre i dette tal (det vil sige uden de sidste tre cifre) er deleligt med 13. For eksempel er 192218 deleligt med 13, så ligesom 218-192=26 og 26 er deleligt med 13.

Tegn på delelighed med 17

Tallet er deleligt med 17 i følgende tilfælde:

- når modulet af forskellen mellem antallet af tiere og cifferet ganget med 5 på enhedspladsen divideres med 17. For eksempel er 221 deleligt med 17, da det er deleligt med 17. $\venstre|22-5\cdot 1\right|=17$

- når modulet af summen af antallet af tiere og cifferet ganget med 12 i enhedscifferet er deleligt med 17. For eksempel er 221 deleligt med 17, da det er deleligt med 17. $\venstre|22+12\cdot 1\right|=34$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {cases}}

Tegn på delelighed med 19

Et tal er deleligt med 19 , hvis og kun hvis antallet af tiere, der er tilføjet tocifret på en-pladsen, er deleligt med 19. For eksempel er 646 deleligt med 19, da 19 er deleligt med og $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}

Tegn på delelighed med 20

Et tal er deleligt med 20 , hvis og kun hvis tallet dannet af de sidste to cifre er deleligt med 20.

En anden formulering: et tal er deleligt med 20, hvis og kun hvis det sidste ciffer i tallet er 0, og det næstsidste ciffer er lige.

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tester for delelighed med 23

Funktion 1 : Et tal er deleligt med 23 , hvis og kun hvis antallet af hundreder tilføjet til at tredoble tallet dannet af de sidste to cifre er deleligt med 23. For eksempel er 28842 deleligt med 23, da 23 er deleligt med og $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

Funktion 2 : Et tal er deleligt med 23, hvis og kun hvis antallet af tiere, der er tilføjet cifret på enhedspladsen ganget med 7, er deleligt med 23. For eksempel er 391 deleligt med 23, da det er deleligt med 23. $39+7\cdot 1=46$

Tegn 3 : Et tal er deleligt med 23, hvis og kun hvis antallet af hundrede, tilføjet med cifret på tiere ganget med 7 og cifret i enhedspladsen tredoblet, er deleligt med 23. For eksempel er 391 deleligt med 23, da det er deleligt med 23. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

Tegn på delelighed med 25

Et tal er deleligt med 25 , hvis og kun hvis dets sidste to cifre er et tal, der er deleligt med 25. Med andre ord er tal, der ender på 00, 25, 50 eller 75, delelige med 25.

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 27

Et tal er deleligt med 27 , hvis og kun hvis summen af tallene, der danner grupper af tre cifre (startende med enere) er deleligt med 27.

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end {cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 29

Et tal er deleligt med 29 , hvis og kun hvis antallet af tiere, der er lagt til for at tredoble en-pladsen, er deleligt med 29. For eksempel er 261 deleligt med 29, fordi det er deleligt med 29. $26+3\cdot 1=29$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}

Tegn på delelighed med 30

Et tal er deleligt med 30 , hvis og kun hvis det ender på 0, og summen af alle cifre er deleligt med 3. For eksempel: 510 er deleligt med 30, men 678 er ikke.

Tegn på delelighed med 31

Et tal er deleligt med 31 , hvis og kun hvis modulet af forskellen mellem antallet af tiere og det tredobbelte ciffer på en-pladsen er deleligt med 31. For eksempel er 217 deleligt med 31, fordi det er deleligt med 31. $\venstre|21-3\cdot 7\right|=0$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\venstre|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

Tegn på delelighed med 37

Tegn 1: tallet er deleligt med 37 , hvis og kun hvis summen af disse grupper er et multiplum af 37, når tallet opdeles i grupper med tre cifre (startende fra enheder).

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end {cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Feature 2: Et tal er deleligt med 37, hvis og kun hvis modulet af det tredobbelte antal hundrede, tilføjet til det firdobbelte ciffer på tiere-pladsen, er deleligt med 37, minus cifferet på en-pladsen, ganget med syv. For eksempel er tallet 481 deleligt med 37, fordi 37 er deleligt med $\venstre|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\venstre|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

Tegn 3: Et tal er deleligt med 37, hvis og kun hvis modulet af summen af antallet af hundreder med cifret på en-pladsen ganget med ti minus cifret på ti-pladsen ganget med 11 er deleligt med 37. F.eks. , tallet 481 er deleligt med 37, så hvordan man dividerer med 37 $\venstre|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{cases}}

Tegn på delelighed med 41

Tegn 1 : et tal er deleligt med 41 , hvis og kun hvis modulet af forskellen mellem antallet af tiere og det firdobbelte ciffer i enhedspladsen er deleligt med 41. For eksempel er 369 deleligt med 41, da det er deleligt med 41. $\venstre|36-4\cdot 9\right|=0$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\venstre|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

Tegn 2 : for at kontrollere, om et tal er deleligt med 41, skal det opdeles fra højre mod venstre i sider med 5 cifre hver. Derefter multiplicer du i hver flade det første tal til højre med 1, multiplicerer det andet tal med 10, det tredje med 18, det fjerde med 16, det femte med 37 og tilføj alle de resulterende produkter. Hvis resultatet er deleligt med 41, så og først da vil selve tallet være deleligt med 41.

Der er andre (mere bekvemme) kriterier for delelighed med 41, se 41 (tal) .

Tegn på delelighed med 50

Et tal er deleligt med 50 , hvis og kun hvis tallet dannet af dets to mindst signifikante decimalcifre er deleligt med 50.

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance.

Tegn på delelighed med 59

Et tal er deleligt med 59 , hvis og kun hvis antallet af tiere, der lægges til et-cifferet ganget med 6, er deleligt med 59. For eksempel er 767 deleligt med 59, fordi 59 deler og $76+6\cdot 7=118$ $11+6\cdot 8=59.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}

Tegn på delelighed med 79

Et tal er deleligt med 79 , hvis og kun hvis antallet af tiere, der tilføjes til enhedscifferet ganget med 8, er deleligt med 79. For eksempel er 711 deleligt med 79, da 79 er deleligt med 79 . $71+8\cdot 1=79$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}

Tegn på delelighed med 99

Et tal er deleligt med 99 , hvis og kun hvis summen af tallene, der danner grupper af to cifre (startende med enheder) er deleligt med 99. For eksempel er 12573 deleligt med 99, fordi 99 er deleligt med $1+25+73=99.$

Funktionstilsvarende funktion:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}

Denne funktion sætter, udover delelighedstegnet, også tegnet for equiresistance. For eksempel tallene 123456 og er lige langt, når de divideres med 99. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Tegn på delelighed med 101

Et tal er deleligt med 101 , hvis og kun hvis modulet af den algebraiske sum af tal, der danner ulige grupper af to cifre (startende med enere), taget med et "+"-tegn, og lige dem med et "-"-tegn er deleligt med 101. For eksempel er 590547 deleligt med 101, da det er deleligt med 101 $\venstre|59-5+47\højre|=101.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Delbarhedstest for 1091

Et tal er deleligt med 1091, hvis og kun hvis forskellen mellem antallet af tiere og enhedscifret gange 109 er deleligt med 1091. For eksempel er 18547 deleligt med 1091, fordi 1854 - 7 * 109 = 1091 er deleligt med 1091.

Generelle tegn på delelighed

Tegn på delelighed med en divisor af graden af grundtallet i talsystemet

Hvis for nogle naturlige tal, og tallet er deleligt med et naturligt tal, så er ethvert heltal skrevet i grundtalsystemet lige langt med tallet dannet af dets nederste cifre. Denne egenskab giver dig mulighed for at opbygge et tegn på delelighed og equiresistance til divisoren af graden af grunden af talsystemet. $t$ $n$ $t^{n}$ $m,$ $EN,$ $t,$ $n$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vprikker \,m,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

For eksempel, i decimaltalsystemet giver dette dig mulighed for at bygge tegn på delelighed med 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 osv.

Tegn på delelighed med en divisor $t^{n}-1$

Hvis for nogle naturlige tal og tallet er deleligt med et naturligt tal, så er ethvert heltal skrevet i basissystemet lige deleligt med summen af tal dannet ved at dividere i grupper af cifre, begyndende med det mindste. Denne egenskab gør det muligt at konstruere en test for delelighed med $t$ $n$ $t^{n}-1$ $m,$ $EN,$ $t,$ $n$ $m.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\højre)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{cases}}

For eksempel, i decimaltalsystemet giver dette dig mulighed for at bygge tegn på delelighed med 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 osv.

Tegn på delelighed med en divisor $t^{n}+1$

Hvis for nogle naturlige tal og tallet er deleligt med et naturligt tal, så er ethvert heltal skrevet i grundtalssystemet ligedeleligt med modulet af den vekslende sum af tal dannet ved at dividere i grupper af cifre, begyndende med det mindste. Denne egenskab gør det muligt at konstruere en test for delelighed med $t$ $n$ $t^{n}+1$ $m,$ $EN,$ $t,$ $n$ $m.$

Funktionen svarende til denne funktion er:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\højre)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

For eksempel, i decimaltalsystemet, giver dette dig mulighed for at bygge tegn på delelighed med 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 osv.

Lang division

Køretiden for en algoritme, der kontrollerer deleligheden af et tal med et andet tal ved at dividere "i en kolonne" er . De såkaldte "delelighedskriterier" giver således i mange tilfælde ikke en mærkbar gevinst i antallet af udførte elementære operationer. En undtagelse er kriterierne for delelighed med tal i formularen , hvis køretid ikke afhænger af størrelsen på det tal, der kontrolleres. $n$ $O(\log n)$ ${\displaystyle 2^{a}5^{b))$

Tegn på delelighed i andre talsystemer

Delelighedstegn i andre talsystemer ligner dem i decimaler. Især i ethvert talsystem (tallene er skrevet i det system, som vi arbejder i i øjeblikket):

et tal er deleligt med 10 n , hvis det ender på n nuller.

Hvis grundtallet i talsystemet er 1 modulo et eller andet tal k (det vil sige, at resten af at dividere grundtallet med k er 1), så er ethvert tal deleligt med k , hvis og kun hvis summen af dets cifre er deleligt med k uden en rest. I særdeleshed:

et tal er deleligt med 10 − 1, hvis summen af dets cifre er deleligt med 10 − 1;
hvis grunden af talsystemet er ulige, så er tallet deleligt med 2, hvis summen af dets cifre er deleligt med 2.

Hvis grunden af talsystemet er lig med k − 1 modulo et eller andet tal k , så er ethvert tal deleligt med k , hvis og kun hvis summen af cifre, der optager ulige pladser, enten er lig med summen af cifre, der optager lige pladser, eller er forskellig fra det med et tal, der er deleligt med til k uden en rest. I særdeleshed:

et tal er deleligt med 11, hvis summen af de cifre, der optager ulige pladser, enten er lig med summen af de cifre, der optager lige pladser, eller adskiller sig fra den med et tal, der er deleligt med 11.

Hvis grundtallet i et talsystem er deleligt med et eller andet tal k , så er ethvert tal deleligt med k , hvis og kun hvis dets sidste ciffer er deleligt med k . I særdeleshed:

hvis grunden af talsystemet er lige, så er tallet deleligt med 2, hvis dets sidste ciffer er deleligt med 2.

Se også

Pascals test er en universel delelighedstest, der tillader ethvert heltal a og b for at bestemme, om a er deleligt med b . Mere præcist giver det dig mulighed for at udlede næsten alle ovenstående funktioner.

Litteratur

Vorobyov N. N. Tegn på delelighed . - 4. udg. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 s. - ( Populære foredrag om matematik ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Noter

↑ I praksis betyder "relativt hurtigt" " hurtigere end den faktiske opdeling kunne udføres" på samme måde. Desuden afhænger effektiviteten af denne algoritme i høj grad af formen for repræsentation af tal og de tilgængelige beregningsmuligheder.
↑ Vorobyov N. N. Tegn på delelighed. - 4. udg., Rev. - M . : Nauka, 1988. - S. 42. - ( Populære forelæsninger om matematik ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Tegn på delelighed

Begreberne delelighed, ligedelelighed og ligeadskillelse

Generelle principper for konstruktion

Tegn på delelighed i decimaltalsystemet

Test for delelighed med 2

Tegn på delelighed med 3

Testen for delelighed med 4

Tegn på delelighed med 5

Tegn på delelighed med 6

Tegn på delelighed med 7

Tegn på delelighed med 8

Tegn på delelighed med 9

Tegn på delelighed med 10

Tegn på delelighed med 11

Tegn på delelighed med 13

Tegn på delelighed med 17

Tegn på delelighed med 19

Tegn på delelighed med 20

Tester for delelighed med 23

Tegn på delelighed med 25

Tegn på delelighed med 27

Tegn på delelighed med 29

Tegn på delelighed med 30

Tegn på delelighed med 31

Tegn på delelighed med 37

Tegn på delelighed med 41

Tegn på delelighed med 50

Tegn på delelighed med 59

Tegn på delelighed med 79

Tegn på delelighed med 99

Tegn på delelighed med 101

Delbarhedstest for 1091

Generelle tegn på delelighed

Tegn på delelighed med en divisor af graden af ​​grundtallet i talsystemet

Tegn på delelighed med en divisor

Tegn på delelighed med en divisor

Lang division

Tegn på delelighed i andre talsystemer

Se også

Litteratur

Noter

Tegn på delelighed med en divisor af graden af grundtallet i talsystemet

Tegn på delelighed med en divisor $t^{n}-1$

Tegn på delelighed med en divisor $t^{n}+1$