Pauli matricer

Pauli-matricer er et sæt af tre hermitiske og samtidigt unitære 2×2 - matricer , der udgør et grundlag i rummet for alle hermitiske 2×2-matricer med nul spor . Blev foreslået af Wolfgang Pauli til at beskrive spin af en elektron i kvantemekanik . Matricerne ligner

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix)),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

I stedet bruges notationen og nogle gange . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3))$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z))$ $X,Y,Z$

Ofte også brugt matrix

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

faldende sammen med identitetsmatrixen , som også nogle gange betegnes som . $jeg$ $E$

Pauli-matricerne danner sammen med matricen et grundlag i rummet af alle 2×2 hermitiske matricer (ikke kun matricer med nul spor). $\sigma _{0}$

Egenskaber

Grundlæggende forhold

Hermiticitet : $\sigma _{i}^{\dolk }=\sigma _{i};$
Ligestilling til nul spor : $\operatornavn {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,$ hvor er en 2×2 identitetsmatrix . $I=\sigma _{0}$
Enhed : ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dolk }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i))$
Determinanten af Pauli-matricer er −1.
Algebraen genereret af grundstofferne er isomorf i forhold til quaternionalgebraen . ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z))$ $\langle 1,i,j,k\rangle$

Pauli Matrix multiplikationsregler

\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},

\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},

\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i))

til

i\neq j.

Disse multiplikationsregler kan omskrives i en kompakt form

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j ,k=1,2,3

hvor er Kronecker-symbolet og ε ijk er Levi-Civita-symbolet . $\delta _{{ij}}$

Fra disse multiplikationsregler følger kommuteringsrelationerne

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}

Firkantede parenteser betyder kommutator , krøllede parenteser betyder antikommutator .

Firtz -identiteterne gælder også for Pauli-matricer .

Forbindelse med Lie algebraer

Matricernes kommutationsrelationer falder sammen med kommuteringsrelationerne for generatorerne af Lie algebra su(2). Hele denne algebra, der består af 2×2 anti-hermitiske matricer, kan faktisk konstrueres ud fra vilkårlige lineære kombinationer af matricer . dette forklarer især betydningen af Pauli-matricer for fysik. ${\displaystyle i\sigma _{k))$ $i\sigma _{k}\;.$

Ansøgninger i fysik

I kvantemekanikken er matricer generatorer af uendelige små rotationer for ikke-relativistiske partikler med spin ½. Elementerne i spinoperatormatricen for partikler med halvt heltals spin er udtrykt i form af Pauli-matricerne [1] som $i\sigma _{j}/2$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)){\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma$

Tilstandsvektoren for sådanne partikler er en to-komponent spinor [2] . De to-komponent spinorer danner rummet for den fundamentale repræsentation af SU(2) gruppen.

Se også

Firtz identiteter

Noter

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Spinoperator // Kvantemekanik (nonrelativistisk teori). — Udgave 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 s. - ( Teoretisk fysik , bind III). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinorer // Kvantemekanik (nonrelativistisk teori). — Udgave 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 s. - ( Teoretisk fysik , bind III). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 .