Minkowski funktionel

Minkowski- funktionen er en funktion , der bruger rummets lineære struktur til at introducere topologi på den. Opkaldt efter den tyske matematiker Hermann Minkowski .

Definition

For ethvert vektorrum ( reelt eller komplekst ) og dets delmængde er Minkowski-funktionen defineret som: $x$ $K$ $\ \mu _{K}:X\højrepil [0,\infty )$

\mu _{K}(x)=\inf \venstre\{r>0:x\in rK\right\}

Det antages, at sættet også er ikke- tomt. Under yderligere betingelser vil den funktionelle have egenskaberne af en seminorm , nemlig: $0\i K$ $\{r>0\midt x\i rK\}$ $K$

af konveksitet og symmetri følger subadditivitet , dvs. $K$ $\mu _{K}$ $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$
homogenitet - for alle opnås hvis - et afbalanceret sæt , det vil sige for alle . $\mu _{K}(\alpha x)=|\alpha |\mu _{K}(x)$ $\alfa$ $K$ $\alpha K\undersæt K$ $|\alpha |\leqslant 1$

Egenskaber

Minkowski-funktionen kan bruges til at definere en topologi i rummet, da den for konvekse lukkede sæt, der indeholder 0, har egenskaberne som en seminorm. Det giver dig også mulighed for at etablere en korrespondance (en af manifestationerne af Minkowski-dualitet ) mellem sættene i og , da den har egenskaberne som en støttefunktion i det dobbelte rum . Lad være et endeligt -dimensionelt euklidisk rum . For ethvert sæt introduceres det konjugerede sæt som et sæt, hvis støttefunktion på vektorer falder sammen med : $K$ $x$ $X^{*}$ $x$ $K\subseteq X$ $K^{*}\subseteq X^{*}$ $s(p,K^{*})$ $p\in X$ $p_{K}$

\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)

Desuden har vi for enhver konveks lukket balanceret : $K$

\ K^{{**}}=K

Denne definition kan også udvides til uendelig-dimensionelle refleksive rum . I dette tilfælde opstår der dog en vis kompleksitet, da rummet indeholder elementer, der ikke ligger i . Det er muligt at udvide støttefunktionen på ved at sætte den lig med 0 for sådanne vektorer. Så, under naturlig indlejring , falder billedet sammen med (for konveksitet og balance). $X^{{**}}$ $x$ $K^{*}$ $X\hookrightarrow X^{{**}}$ $K$ $K^{{**}}$

Se også

Andre manifestationer af Minkowski-dualitet:

Legendre transformation
referenceprincippet

Litteratur

Polovinkin ES , Balashov MV Elementer af konveks og stærkt konveks analyse . — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .