Snells lov

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Snells lov (også Snell eller Snell ) beskriver lysets brydning ved grænsen af to transparente medier. Det er også anvendeligt til beskrivelsen af brydningen af bølger af en anden karakter, for eksempel lydbølger. For en teoretisk forklaring af Snells lov, se artiklen Refraktion .

Loven blev opdaget i 1621 af den hollandske matematiker Willebrord Snellius [1] . Noget senere udgivet (og sandsynligvis uafhængigt genopdaget) af René Descartes .

Ordlyd

Indfaldsvinklen for lys på overfladen er relateret til brydningsvinklen ved forholdet:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

hvor er brydningsindekset for det medium, hvorfra lys indfalder på grænsefladen;

n_{1}

\theta _{1}

- indfaldsvinkel for lys - vinklen mellem strålen, der falder ind på overfladen og normalen på overfladen;

n_{2}

er brydningsindekset for mediet, som lyset trænger ind i efter at have passeret gennem grænsefladen;

\theta _{2}

- lysets brydningsvinkel - vinklen mellem strålen, der passerer gennem overfladen, og normalen til overfladen. Afledning af loven

Lad det ligge i tegningens plan. Lad aksen rettes vandret, aksen - lodret. Det følger af symmetriovervejelser, at og (for hændelsen henholdsvis reflekterede og brydte bølger) skal ligge i samme plan. $\vec{k}$ $x$ $y$ ${\vec {k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Lad os udskille en plan-polariseret komponent fra den indfaldende stråle, hvor vinklen mellem og planet er vilkårlig. Så hvis vi vælger den indledende fase lig med nul, så: ${\vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Det resulterende felt i det første og det andet miljø er henholdsvis:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Det er indlysende, at de tangentielle komponenter og skal være ens ved grænsefladen, det vil sige kl $E_1$ $E_2$ $y=0.$

Derefter:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}x+\alpha '')}.

For at den sidste ligning skal holde for alle , er det nødvendigt at , og for at den skal holde for alle , er det nødvendigt at: $t,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $x,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

hvor og er bølgehastighederne i henholdsvis det første og andet medium.

v_{1}

v_{2}

Derfor følger det ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

Lovens anvendelsesområde

Snells lov er veldefineret for tilfældet med " geometrisk optik ", det vil sige i det tilfælde, hvor bølgelængden er lille nok sammenlignet med dimensionerne af den brydende overflade, fungerer den generelt inden for rammerne af en tilnærmet beskrivelse, som er geometrisk optik.

Hvis der er total intern refleksion (der er ingen brudt stråle, reflekteres den indfaldende stråle fuldstændigt fra grænsefladen mellem medierne). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

Det skal bemærkes, at i tilfælde af anisotrope medier (for eksempel krystaller med lav symmetri eller mekanisk deformerede faste stoffer) overholder brydningen en noget mere kompleks lov. I dette tilfælde er afhængigheden af retningen af den brudte stråle mulig ikke kun af retningen af hændelsen, men også af dens polarisering (se dobbeltbrydning ).

Snells lov beskriver ikke forholdet mellem intensiteter og polariseringer af hændelsen, brudte og reflekterede stråler, betragtet i de mere detaljerede Fresnel-formler .

Historisk disposition

Den første lov om lysets brydning, det vil sige brydningsvinklens afhængighed af indfaldsvinklen, forsøgte eksperimentelt at bestemme den berømte antikke astronom Claudius Ptolemæus i den femte bog af hans afhandling "Optik" . Ptolemæus målte, hvordan brydningsvinklen ændrer sig afhængigt af indfaldsvinklen, når sidstnævnte skifter fra til og kompilerede tabeller for tre muligheder for at ændre mediet: luft-vand, luft-glas og vand-glas. For eksempel, for tilfældet med luft-vand, er Ptolemæus's tabel som følger (til sammenligning er moderne data og fejlværdien også givet) [2] [3] : ${\displaystyle 10^{\circ ))$ $80^{\circ },$

Brydningsvinkler ifølge Ptolemæus og ifølge moderne data (luft-vand)

Indfaldsvinkel, grader	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Ptolemæus' data	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Moderne data	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Fejlværdi	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Historikere er kommet til den konklusion, at Ptolemæus faktisk kun målte afbøjningen af strålen i området 60 ° og vinkler tæt på den, fordi i alle tre tabeller for denne værdi er fejlen nul, og for andre vinkler udførte han en lineær tilnærmelse med koefficienter valgt af ham. Men i virkeligheden er brydningsvinklens afhængighed af indfaldsvinklen ikke-lineær, så Ptolemæus fik store fejl [2] [4] .

Den arabiske fysiker og astronom fra det 11. århundrede, Ibn al-Khaytham , diskuterer i sin " Book of Optics (1021) også dette emne og giver sine tabeller tæt på ptolemæiske tabeller, men forsøger ikke at udtrykke den påkrævede lov matematisk. [3] .

I 1990 offentliggjorde den arabiske videnskabshistoriker Roshdi Rashed , som har specialiseret sig i at søge efter arabiske bidrag til verdensvidenskaben, en artikel, hvori han rapporterede, at han havde fundet to fragmenter af et arabisk manuskript af en lidet kendt forsker i århundrede, Ibn Sal , en af Ibn al-Haythams lærere. Rashed rapporterede også, at han var i stand til at rekonstruere en tekst, hvoraf det følger, at ibn Sal opdagede og korrekt formulerede Snells lov. Der er endnu ingen uafhængig bekræftelse af Rasheds påstande. Det er også påkrævet at forklare, hvorfor ingen af tilhængerne af ibn Sal, inklusive hans elev Ibn al-Khaytham, nævner denne grundlæggende præstation, og hvorfor ibn Sal selv ikke rapporterer, hvilke eksperimenter han beviste sin opdagelse med [5] [3] .

I Europa findes den første formulering af brydningsloven i et upubliceret manuskript af den engelske matematiker Thomas Harriot (1602). Den tyske astronom Johannes Kepler , der beskæftigede sig med problemet med at vælge den bedste form for brand-linser, bad Harriot om at give detaljer om den åbne lov, men Harriot begrænsede sig til at sende opdaterede tabeller med henvisning til det faktum, at dårligt helbred ikke tillod ham at udtrykke loven i en form, der er egnet til offentliggørelse [6] .

En anden upubliceret opdagelse af denne lov fandt sted i 1621, da den hollandske matematiker Willebrord Snell ( Snellius ) nedskrev loven om brydning i en form svarende til den moderne: " i de samme medier, forholdet mellem cosecans af indfaldsvinklerne og brydningen forbliver konstant ." Et pludseligt dødsfald i 1626 forhindrede Snell i at offentliggøre sin opdagelse, men rygter spredte sig om ham, og et udkast til Snells papir overlevede og er på biblioteket ved universitetet i Amsterdam [7] .

Senere blev "Snells lov" uafhængigt opdaget og udgivet af René Descartes i afhandlingen Discourse on Method (Dioptric Appendix, 1637). Snells prioritet blev fastsat af Christian Huygens i 1703 (i hans afhandling Dioptrics), 77 år efter Snells død, da denne lov allerede var velkendt; Huygens underbyggede også (i Treatise on Light ) udledningen af Snells lov fra bølgeteorien om lys og Huygens-Fresnel-princippet . Modstandere anklagede Descartes for plagiat , idet de havde mistanke om, at Descartes under et af hans besøg i Leiden hørte om Snells opdagelse og var i stand til at sætte sig ind i hans manuskripter [8] . Der er dog ingen beviser for plagiat, og Descartes' uafhængige vej til denne opdagelse er blevet undersøgt i detaljer af historikere [9] [10] .

Fermats princip

Det velkendte princip [11] om en lysstråles bevægelse langs vejen mellem to punkter, som kræver mindst tid, kan bruges til at bevise brydningsloven. Lad lysets hastighed i to medier være og , så afhænger bevægelsestiden mellem punkt A og B af valget af punkt P på grænsen mellem mediet: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Denne funktion vil have et minimum, når dens afledte er nul [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Her kan vinklernes sinus udtrykkes i trekanter:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sin \beta

Afledten reduceres til formen

{\frac {\sin \alpha }{v_{1))}-{\frac {\sin \beta }{v_{2))}=0\,,

hvoraf det følger

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Dette udtryk er Snells lov [13] .

Vektorformel

Lad og være strålevektorerne for de indfaldende og brudte lysstråler, det vil sige vektorerne, der angiver strålernes retninger og har længder og en enhedsnormalvektor til den brydende overflade ved brydningspunktet. Derefter: $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ $\scriptstyle {\vec {n))$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\right)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Noter

↑ Snell er en romaniseret form af det oprindelige efternavn Snell .
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudius Ptolemæus / Resp. udg. A. A. Gurshtein. - M . : Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 s.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Theories of Light from Descartes to Newton , Cambridge University Press . ( jf . Pavlos Mihas, Use of History in Developing ideas of refraktion, linser and rainbow , s. 5, Demokritus University, Thrakien , Grækenland .)
↑ Ptolemæus (ca. 100-ca. 170) . Eric Weinsteins verden af videnskabelig biografi . Hentet 28. juli 2021. Arkiveret fra originalen 27. april 2006. (ubestemt)
↑ Dr. Gorden Videen . Hvis lov om brydning? Arkiveret 27. juli 2021 på Wayback Machine , Optics & Photonics News (maj 2008) Arkiveret 27. juli 2021 på Wayback Machine
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). "Hvem opdagede egentlig Snells lov?". PhysicsWorld . 15 (4):64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Fysikkens historie . - M. - L. : GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. Fysikkens verdenshistorie. Fra oldtiden til slutningen af det 18. århundrede. - Ed. 3. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 s. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Bind 3: Stråling. Bølger. Quanta. Oversættelse fra engelsk (bind 4). — Redaktionel URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optik: en lærebog for universiteter . - 6. udg. stereot. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Snells lov // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 s. - 40.000 eksemplarer. - ISBN 5-85270-087-8 .