Betz lov

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. december 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Betz- loven definerer den maksimale effekt af en vindgenerator for en given vindhastighed og rotorareal. Opdaget i 1919 af den tyske fysiker Albert Betz . Ifølge denne lov kan en vindgenerator ikke tage mere end 59,3 % af kraften af den luftstrøm, der falder på den [1] .

Elementær forklaring

Den energi, som en vindgenerator producerer, afhænger af massen af luft, der er passeret gennem den (kaldet strømningshastigheden) og andelen af energi, der tages fra luftstrømmen, hvilket kommer til udtryk ved at bremse strømmen, når den passerer gennem rotoren. Lad os overveje to ekstreme tilfælde:

Hvis rotoren tager 100 % af strømmen fra flowet, så stopper flowet, mens flowet vil være nul, og effektudtaget fra vindgeneratoren vil også være nul.
Hvis rotoren tager 0% af strømmen fra flowet, så vil flowet være maksimalt, men udgangsenergien vil også være nul.

Den bedste funktionsmåde for enhver vetogenerator ligger således i midten mellem disse to ekstreme tilfælde. Betz's lov udtrykker matematisk denne måde at opnå maksimal effektivitet på. Han hævder, at den maksimale virkningsgrad, svarende til 16/27 (59,3%), opnås, når luften, der passerer gennem rotoren, bremses med en faktor tre [2] [3] .

Tre uafhængige opdagelser af effektivitetsgrænsen for en turbine

Den britiske videnskabsmand Frederick Lanchester beregnede effektiviteten af en turbine i 1915. Den russiske videnskabsmand, grundlæggeren af aerodynamik som videnskab, Nikolai Yegorovich Zhukovsky , offentliggjorde det samme resultat på en ideel vindmølle i 1920, samme år som Betz. [4] Dette er et glimrende eksempel på Stiglers lov .

Afledning af formlen

Betz-grænsen repræsenterer den maksimalt mulige energi, som en luftstrøm med en bestemt hastighed kan overføre til en uendeligt tynd rotor [5] .

For at beregne den maksimale teoretiske effektivitet af en tynd rotor (for eksempel en vindmølle ) erstatter vi rotoren med en skive, der tager energi fra strømmen, der passerer gennem den. Efter at have passeret gennem skiven, mister flowet noget af sin hastighed [5] .

Antagelser

Rotoren har intet nav og er ideel, med et uendeligt antal blade, der ikke har noget træk.
Strømningen har en strengt aksial retning. Hele strømmen, der falder på skiven, passerer fuldstændigt gennem den og udgår fra bagsiden.
Strømmen er ukomprimerbar. Densiteten forbliver konstant, der er ingen varmeoverførsel.
Kraften på skiven eller rotoren er ensartet.

Anvendelse af loven om bevarelse af masse (kontinuitetsligning)

Ved at anvende loven om bevarelse af masse på mængden af luft, der passerer gennem rotoren, får vi et udtryk for massestrømmen (masse af luft, der passerer gennem rotoren pr. tidsenhed):

{\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},

hvor er strømningshastigheden foran rotoren; - flowhastighed bag rotoren;, - hastighed på den hydrauliske kraftanordning; - lufttæthed ; er området af rotoren; og - tværsnittet af luftstrømmen, der falder på rotoren og forlader den. $v_{1}$ $v_{2}$ $v$ $\rho$ $S$ $A_{1}$ $A_{2}$

Produktet af tæthed, strømningstværsnit og hastighed skal således være det samme i hvert af de tre områder: før rotoren, når den passerer gennem rotoren og efter.

Kraften, der virker på luftstrømmen fra siden af rotoren, er lig med luftmassen ganget med dens acceleration. Med hensyn til tæthed, tværsnit og flowhastighed kan dette skrives som

{\begin{aligned}F&=ma=m{\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}\,\Delta v=\rho Sv(v_{1}-v_{2 }).\end{aligned}}

Power og arbejde

Arbejdet udført af en kraft kan skrives i differentialform som

dE=F\,dx,

derefter kraften af luftstrømmen

P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.

Ved at erstatte det tidligere opnåede udtryk for kraften får vi $F$

P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).

På den anden side kan effekt beregnes som tabet af energi ved luftstrømmen pr. tidsenhed:

P={\frac {\Delta E}{\Delta t))={\tfrac {1}{2)){\dot {m))(v_{1}^{2}-v_{2 }^{2}).

Ved at erstatte udtrykket fundet tidligere fra kontinuitetsbetingelsen får vi ${\dot m}$

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).

Sæt lighedstegn mellem begge udtryk:

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_{2}).

Vi reducerer de fælles faktorer og transformerer det resulterende udtryk:

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=v(v_{1}-v_{2});

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2});

v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).

Luftstrømningshastigheden i rotoren er således lig med det aritmetiske middelværdi af hastighederne før og efter den.

Betz's lov og effektivitet

Lad os vende tilbage til udtrykket for kraft i form af kinetisk energi :

{\dot {E}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}^{3}+v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{ 2}-v_{2}^{3})

={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )^{3}\right).

Ved at differentiere det sidste udtryk med hensyn til konstanter , og sidestille det resulterende udtryk med nul, finder vi, at det har et ekstremum (maksimum) ved . ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ $v_{1}$ $S$ $\prik E$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$

At erstatte dette resultat med udtrykket for magt, får vi

P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Vi skriver det sidste udtryk som

P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Den samlede effekt af luftstrømmen med et tværsnit og hastighed er lig med $S$ $v_{1}$

P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Dette er således " effektfaktoren " [6] , som viser, hvilken maksimal andel af effekten af det indfaldende flow, der tages af vindgeneratorens rotor. Det er lige , det vil sige vindgeneratorens effektivitet må ikke overstige 59,3%. $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}$ $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}=0,593$

Moderne store vindmøller når værdier på 0,45 ... 0,50 [7] , det vil sige 75–85 % af den maksimalt mulige værdi. Ved høje vindhastigheder, når turbinen kører med nominel effekt, øges vinklen, hvorved α formindskes for at undgå beskadigelse af rotoren. Ved en stigning i vindhastigheden fra 12,5 til 25 m/s stiger vindkraften henholdsvis 8 gange, ved en vind på 25 m/s skal den reduceres til 0,06. $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$

Se også

Vindkraft

Noter

↑ Betz, A. (1966) Introduktion til teorien om flowmaskiner . (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
↑ Vindmøller - Betz Law Explained (engelsk) (link ikke tilgængeligt) . Fysik og astronomi Outreach Program ved University of British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (18. maj 2010). Dato for adgang: 9. december 2015. Arkiveret fra originalen 28. september 2015.
↑ Peter F. Pelz. Øvre grænse for vandkraft i en åben kanalstrøm . JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING Vol. 137, nr. 11 (november 2011). - "Dette optimum nås, når vinden decelereres til 1=3 af sin hastighed opstrøms for vindmøllen og til 2=3 i vindmøllens plan." Hentet: 9. december 2015. (ubestemt)
↑ Gijs AM van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit Arkiveret 9. juni 2011 på Wayback Machine , Wind Energ. 2007; 10:289-291
↑ 1 2 Manwell, JF Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / JF Manwell, JG McGowan, AL Rogers. — Chichester, West Sussex, Storbritannien: John Wiley & Sons Ltd., februar 2012. — S. 92–96 . — ISBN 9780470015001 .
↑ "Dansk Vindindustriforening" . Arkiveret fra originalen den 31. oktober 2009.
↑ "Enercon E-familie, 330 Kw til 7,5 Mw, Wind Turbine Specification" Arkiveret 16. maj 2011 på Wayback Machine .