Riemann-Liouville differentialintegral

I matematik kortlægger Riemann-Liouville differentialintegralet en reel funktion til en anden funktion af samme type for hver værdi af parameteren . Dette differentiale integral er en generalisering af den itererede antiderivat af i den forstand, at for positive heltal er den iterative afledte af ordensfunktionen . Riemann-Liouville differentialintegralet er opkaldt efter Bernhard Riemann og Joseph Liouville , hvoraf sidstnævnte var den første til at overveje muligheden for brøkregning i 1832. [1] Denne operator er i overensstemmelse med Euler-transformationen , når den virker på analytiske funktioner . [2] Det blev generaliseret til vilkårlige dimensioner af Marcel Rees , som introducerede Rees potentialet . $f\kolon\R\til\R$ $I^{\alpha }f$ $\alfa >0$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha }f$ $f$ $\alfa$

Riemann-Liouville integralet er defineret som:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

hvor er gammafunktionen og er et vilkårligt, men fast referencepunkt. Det faktum, at dette integral er veldefineret, sikres af den lokale integrerbarhed af funktionen , er et komplekst tal i halvplanet . Afhængigheden af referencepunktet er ofte ikke signifikant og repræsenterer friheden i at vælge integrationskonstanten . er selvfølgelig antiderivatet (af første orden) af funktionen , for positive heltal er antiderivatet af ordenen ifølge Cauchy itererede integrationsformel . I anden notation, der understreger afhængigheden af referencepunktet, har den formen [3] : $\Gamma$ $-en$ $f$ $\alfa$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $-en$ $I^{1}f$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha }f$ $\alfa$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Dette udtryk giver også mening for , med passende begrænsninger på . $a=-\infty$ $f$

De grundlæggende relationer forbliver:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha}(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

hvoraf den sidste er en semigruppeejendom . [1] Disse egenskaber tillader ikke kun at definere fraktioneret integration, men også fraktioneret differentiering ved at tage et tilstrækkeligt antal afledede af funktionen . $I^{\alpha }f$

Egenskaber

Lade være et fast afgrænset interval . Operatøren kortlægger enhver integrerbar funktion til en funktion på , som også kan integreres af Fubinis sætning . Definerer således en lineær operator på rummet : $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

Det følger også af Fubinis sætning, at denne operator er kontinuerlig med hensyn til strukturen af Banach-rummet på . Følgende ulighed er således sand: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Her betegner normen i . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

I et mere generelt tilfælde følger det af Hölders ulighed , at hvis tilhører , så hører også til , og en lignende ulighed gælder: $f$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

hvor er pladsnormen på intervallet . Definerer således en afgrænset lineær operator fra til sig selv. Har desuden en tendens til i -forstand langs den reelle akse. Det er: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $f$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

for alle . Derudover kan man ved at evaluere operatørens maksimale funktion bevise punktvis konvergens næsten overalt . $p\leqslant 1$ $jeg$ $I^{\alpha }f\to f$

Operatøren er veldefineret på sættet af lokalt integrerbare funktioner på hele den rigtige linje . Den definerer en afgrænset mapping på ethvert Banach-rum af funktioner af eksponentiel type , bestående af lokalt integrerbare funktioner, for hvilke normen ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

begrænset. For ud tager Laplace-transformationen af funktionen en særlig enkel form: $f$ $X_{\sigma }$ $I^{\alpha }f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

hvor . Her er Laplace-transformationen af en funktion betegnet med, og denne egenskab udtrykker det faktum, at det er en Fourier-multiplikator . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(s)$ $f$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$

Brøkafledte

Du kan også definere afledte brøkordener af funktionen : $f$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

hvor angiver operationen med at tage den heltallige del af . Man kan også opnå en differentiel-integral interpolation mellem differentiering og integration ved at definere: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \ alpha \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Noter

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Fractional integration and differentiation , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Euler transformation , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller & Ross, 1993 , s. 21

Riemann-Liouville differentialintegral

Egenskaber

Brøkafledte

Noter

Links