Grunwald-Letnikov differentialintegral

I matematik er Grunwald-Letnikov differentialintegralet en af de vigtigste generaliseringer af den afledede i brøkregning , som gør det muligt at tage afledte et ikke-heltal antal gange. Det blev introduceret af Anton Karl Grunwald i 1867 og A. V. Letnikov i 1868.

Konstruktion af Grunwald-Letnikov differentialintegralet

Formel for derivatet

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

kan anvendes rekursivt for at opnå højere ordens derivater. For eksempel får vi for den anden ordens afledte:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2 })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Hvis vi antager, at alle trin har en tendens til nul på samme måde, kan dette udtryk simplificeres: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

som kan begrundes strengt ved hjælp af den endelige stigningsformel . Generelt har vi (se binomiale koefficienter ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\vælg m}f(x+(nm)h).

Formelt, fjernelse af begrænsningen, der er et positivt tal, er det naturligt at definere: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).

Dette er definitionen af Grunwald-Letnikov differentialintegralet.

En anden post

Definitionen kan også omskrives mere enkelt ved at introducere notationen:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Så tager definitionen formen:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Links

Oldham, K. og Spanier, J. The Fractional Calculus - Udgiver: Academic Press, 1974. - 234 s. — ISBN 0-12-52555-0-0 .