Riemannsk geometri
Riemannsk geometri er en gren af differentialgeometri , hvis hovedobjekt er Riemann-manifolder , det vil sige glatte manifolds med en ekstra struktur, en Riemann-metrik , med andre ord med valget af en euklidisk metrisk på hvert tangentrum , og denne metrik ændres jævnt fra punkt til punkt. Nogle gange, især ofte i matematisk fysik, betyder Riemannsk geometri også den pseudo-riemannske geometri af manifolder med en pseudo-Riemannsk metrisk , for eksempel rum- tidsgeometrien for speciel og generel relativitet .
Hovedunderafsnittet af Riemannsk geometri i matematik er geometri som helhed - et afsnit, der afslører forbindelsen mellem de globale egenskaber af en Riemannmanifold, såsom: topologi, diameter, volumen - og dens lokale egenskaber, for eksempel begrænsninger på krumning .
Historie
Forfaderen til Riemannsk geometri er den tyske matematiker Bernhard Riemann , som skitserede dens grundlæggende begreber i 1854 .
Efter udgivelsen af Riemanns værker tiltrak hans ideer opmærksomheden hos en række matematikere, som videreudviklede det analytiske apparat i Riemann-geometrien og etablerede nye geometriske teoremer i det. Et vigtigt bidrag til udviklingen af Riemannsk geometri var skabelsen af de italienske geometre Ricci-Curbastro og hans elev Levi-Civita ved begyndelsen af det 20. århundrede af tensorregning , som viste sig at være det bedst egnede analytiske apparat. Anvendelsen af Riemannsk geometri i skabelsen af den generelle relativitetsteori var afgørende . Dette førte til den hurtige udvikling af Riemannsk geometri og dens forskellige generaliseringer. På nuværende tidspunkt er Riemannsk geometri, sammen med dens generaliseringer, et stort område af geometri, der fortsætter med at udvikle sig med succes.
Grundsætninger
Den grundlæggende sætning for Riemannsk geometri siger, at der på enhver Riemannmanifold er en unik torsionsfri forbindelse , der bevarer den metriske tensor , den såkaldte Levi-Civita-forbindelse af den givne metrik.
Gauss-Bonnet-sætningen siger, at integralet af den Gaussiske krumning på en kompakt 2-dimensionel Riemannmanifold er 2πχ(M), hvor χ(M) angiver Euler-karakteristikken for manifolden. Denne teorem indrømmer også en generalisering til en kompakt Riemannmanifold af lige dimension.
Se også
- Riemann-manifold
- Metrisk tensor
- Krumning
- Krumning tensor
- Levi-Civita-forbindelse
- Riemannsk informationsmetrik
Litteratur
- Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introduktion til Riemannsk geometri. - St. Petersborg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .
- Rashevsky PK Riemann geometri og tensoranalyse. — M.: Nauka, 1967.
- Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1979.
- Postnikov M. M. Riemannsk geometri (Forelæsninger om geometri. Semester V) - Moscow: Factorial Press, 1998. 496 s.
- Gromol D., Klingenberg V., Meyer V. Riemannsk geometri generelt. — M.: Mir, 1971
 Ordbøger og encyklopædier | ||||
|---|---|---|---|---|
| ||||