Riemannsk informationsmetrik

Riemann information metric (eng. Riemann information metric ) er den eneste Riemann-metrik på sæt af sandsynlighedsfordelinger, op til en konstant faktor, som er invariant under de statistiske beslutningsregler for kategorien . For to sandsynlighedsfordelinger og på det samme målbare rum af elementære udfald er den Riemannske informationsmetrik givet af den sfæriske afstand Bhattacharya-Rao : $P$ $Q$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}})$

s(P,Q)=2\arccos \int _{\Omega }^{}{\sqrt {P(d\omega )Q(d\omega )))

Især hvis fordelingerne har tætheder og henholdsvis , hvor , så $p(x)$ $q(x)$ $x\i X\subseteq R$

s(P,Q)=2\arccos \int _{X}^{}{\sqrt {p(x)q(x)))dx

Tilsvarende i det diskrete tilfælde:

{\displaystyle s(P,Q)=2\arccos \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i))))

, hvor .

n=|\Omega |

Den lokalt Riemannske informationsmetrik bestemmes af mængden af Fisher-information : for en glat familie

\{P_{t}|\,t\in \Theta \subseteq R^{k}\}\subset \operatørnavn {cap} (\Omega ,{\mathfrak {A)))

på tidspunktet finder sted ${\displaystyle P_{\theta ))$

ds^{2}=\sum _{i,j}^{k}dt^{i}dt^{j}I_{ij}(\theta )

hvor er elementerne i Fisher-informationsmatrixen . På trods af denne egenskab ved Bhattacharya-Rao-metrikken spiller den en mindre vigtig rolle i teoretiske studier end Kullback-Leibler-divergensen . $I_{ij}(\theta )$