Prøvefordelingsfunktion

Den prøve (empiriske) fordelingsfunktion i matematisk statistik er en tilnærmelse af den teoretiske fordelingsfunktion , bygget ved hjælp af en stikprøve fra den.

Definition

Lad være en stikprøve af størrelse genereret af en tilfældig variabel givet af fordelingsfunktionen . Vi vil antage , at hvor , er uafhængige stokastiske variable defineret på et eller andet rum af elementære udfald . Lad . Lad os definere funktionen som følger: $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $n$ $x$ $F(x)$ $X_{i}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \in \mathbb{R}$ ${\hat {F}}(x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

hvor er hændelsesindikatoren , er Heaviside -funktionen . Værdien af funktionen i et punkt er således lig med den relative frekvens af prøveelementer, der ikke overstiger værdien af . Funktionen kaldes stikprøvefordelingsfunktionen for den stokastiske variabel eller empirisk stikprøvefunktion, og er en tilnærmelse for funktionen . Der er Kolmogorovs sætning , der siger, at for , funktionen konvergerer ensartet til , og angiver hastigheden af konvergens. For hver positiv er en tilfældig variabel med værdi . $\mathbf {1} _{A}$ $EN$ $\theta (x)$ ${\hat {F}}$ $x$ $x$ ${\hat {F}}(x)$ $x$ $F(x)$ $n\til\infty$ ${\hat {F}}(x)$ $F(x)$ $x$ ${\hat {F}}(x)$ ${\frac {k}{n}},k\in \left\{0,n\right\}$

Grundlæggende egenskaber

Lad det elementære resultat ligge fast . Så er fordelingsfunktionen af den diskrete fordeling givet af følgende sandsynlighedsfunktion : $\omega \i \Omega$ ${\hat {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i))}{n)),\;i=1,\ldots ,n

hvor , og er antallet af prøveelementer lig med . Især hvis alle elementer i prøven er forskellige, så . $x_{i}=X_{i}(\omega )$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $x$ $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$

Den matematiske forventning til denne fordeling er:

\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {N_{ x_{i}}}{n}}={\overline {X}}(\omega )

Således er stikprøvegennemsnittet det teoretiske gennemsnit af stikprøvefordelingen. På samme måde er stikprøvevariansen den teoretiske varians af stikprøvefordelingen.