Forbundet rum

Et forbundet rum er et ikke-tomt topologisk rum , der ikke kan opdeles i to ikke-tomme, ikke-skærende åbne delmængder.

Definition

Tom plads betragtes som afbrudt.

Et ikke- tomt topologisk rum kaldes disconnected , hvis det kan repræsenteres som foreningen af to ikke-tom, ikke-skærende åbne delmængder .

Et ikke-tomt topologisk rum, der ikke er afbrudt , kaldes forbundet .

En delmængde af et topologisk rum kaldes forbundet , hvis det sammen med dets inducerede topologi danner et forbundet rum.

Tilsvarende definitioner

Lad X være et topologisk rum. Så er følgende betingelser ækvivalente:

X er forbundet.
X kan ikke opdeles i to ikke-tomme ikke-skærende lukkede delmængder.
De eneste delmængder af X , der er både åbne og lukkede, er det tomme sæt og hele rummet af X . $\varnothing$
De eneste delmængder med en tom grænse er den tomme mængde og hele rummet X . $\varnothing$
X kan ikke repræsenteres som foreningen af to ikke-tomme sæt, som hver ikke skærer lukningen af den anden.
De eneste kontinuerlige funktioner fra X til et topunktssæt (med diskret topologi) er konstanter.

Relaterede definitioner

Hver tilsluttet delmængde af rummet er indeholdt i en eller anden maksimal tilsluttet delmængde. Sådanne maksimalt forbundne delmængder kaldes forbundne komponenter ( forbundne komponenter , komponenter ) af rummet . $x$ $x$
- Et rum, hvor hver tilsluttet komponent består af et enkelt punkt, kaldes fuldstændig afbrudt . Eksempler er alle rum med diskret topologi, rummet af rationelle tal på den reelle linje og
Cantor-sættet . $\mathbb {Q}$

Hvis der er en base af et rums topologi , bestående af forbundne åbne mængder, så siges rummets topologi og selve rummet (i den topologi) at være lokalt forbundet .

x

x

x

Et sammenhængende kompakt Hausdorff-rum kaldes et kontinuum .

Rummet , for hvilke som helst to forskellige punkter , og som der er åbne usammenhængende sæt og sådan , kaldes helt adskilt .

x

x

y

U\ni x

V\ni y

X=U\kop V

Det er klart, at ethvert helt separat rum er fuldstændig afbrudt, men det omvendte er ikke sandt. Overvej et sæt bestående af to kopier af sættet . Vi indfører en ækvivalensrelation ved reglen og konstruerer et kvotientrum med kvotienttopologi med hensyn til denne relation. Dette rum vil være fuldstændig afbrudt, men for to (per definition topologisk adskilte) kopier af nul er der ikke to åbne sæt, der opfylder definitionen af et helt separat rum.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Egenskaber

I ethvert topologisk rum er det tomme sæt og et-punkts sæt forbundet. Nogle forfattere mener dog ikke, at det tomme sæt er forbundet. (Nogle forfattere anser det dog heller ikke for at være et sæt.)
I et forbundet rum har hver delmængde (undtagen den tomme delmængde og hele rummet) en ikke-tom grænse .
- Undermængder med en tom grænse er både åbne og lukkede undermængder og kaldes åbne-lukkede undermængder . I et forbundet rum er alle clopen-undermængder trivielle, enten tomme eller faldende sammen med hele rummet.
Billedet af et tilsluttet sæt under en kontinuerlig mapping er forbundet.
Forbindelsen af et rum er en topologisk egenskab, det vil sige en egenskab, der er invariant under homeomorfismer .
Lukningen af et tilsluttet delsæt er tilsluttet. $EN$
- Desuden er enhver "mellem" undergruppe ( ) også forbundet. Med andre ord, hvis en tilsluttet delmængde er tæt i , så er sættet også forbundet. $B$ $A\delmængde B \delmængde \bar{A}$ $EN$ $B$ $B$
Lad være en familie af forbundne sæt, som hver har et ikke-tomt skæringspunkt med et forbundet sæt . Derefter sættet $\{A_{\alpha}\}$ $EN$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

også forbundet. (Det vil sige, hvis en vilkårlig familie af forbundne sæt er limet til et forbundet sæt, vil foreningen altid forblive forbundet.)

Produktet af forbundne rum er forbundet. Hvis mindst en af faktorerne er afbrudt, afbrydes produktet.
Hver komponent af rummet er et lukket sæt. De forskellige komponenter i rummet har ikke fælles punkter. De forbundne komponenter i et rumundersæt er de maksimale forbundne undermængder af sættet . $x$ $x$ $EN$ $x$ $EN$
En kontinuerlig kortlægning fra et forbundet rum til et fuldstændigt afbrudt rum reduceres til en kortlægning til et enkelt punkt.
Lokalt forbundne rum behøver ikke være forbundet, og forbundne rum behøver ikke være lokalt forbundet.
I et lokalt forbundet rum er tilsluttede komponenter åbne.
Ethvert stiforbundet rum er forbundet.
- Det modsatte er ikke sandt; for eksempel er lukningen af grafen for en funktion forbundet, men ikke lineært forbundet (dette sæt indeholder et segment på y-aksen). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Eksempler

En pseudoarc er et eksempel på et fuldstændig lineært afbrudt kontinuum.
Knaster-Kuratovsky-blæseren er et eksempel på en sådan forbundet delmængde af flyet, at fjernelse af et punkt fra det gør det fuldstændig afbrudt .
Mandelbrot-sættet er et eksempel på et forbundet sæt, hvor det ikke vides, om det er stiforbundet.

Variationer og generaliseringer

stiforbundet rum