Vertex (geometri)

Et toppunkt er et punkt , hvor to kurver , to lige linjer eller to kanter konvergerer. Det følger af denne definition, at det punkt, hvor to stråler konvergerer og danner en vinkel , er et toppunkt, og også hjørnepunkterne for polygoner og polyedre [1] .

Definition

Hjørne top

En vinkels toppunkt er det punkt, hvor to stråler opstår ; hvor de to segmenter konvergerer; hvor to linjer skærer hinanden; hvor enhver kombination af stråler, linjestykker og linjer, der danner to (retlinede) "sider", der konvergerer i et punkt [2] .

Toppunktet af et polyeders polyeder

Et toppunkt er et hjørnepunkt af en polygon eller polyeder (af enhver dimension), med andre ord, dens 0-dimensionelle flader .

I en polygon siges et toppunkt at være " konveks " , hvis polygonens indre vinkel er mindre end π radianer (180° er to rette vinkler ). Ellers kaldes toppunktet "konkavt".

Mere generelt er et toppunkt på en polytop konveks, hvis skæringspunktet mellem polytopen og en tilstrækkelig lille kugle , der har toppunktet som centrum, er en konveks figur; ellers er toppunktet konkavt.

Polyederens spidser er forbundet med spidserne på grafen , da polyederet er en graf, hvis spidser svarer til polyederens spidser [3] , og derfor kan polyederens graf betragtes som en endimensionel simplicial kompleks , hvis spidser er spidserne af grafen. Men i grafteori kan hjørner have færre end to indfaldende kanter , hvilket normalt ikke er tilladt for geometriske hjørner. Der er også en forbindelse mellem de geometriske toppunkter og kurvens toppunkter , ekstremapunkterne for dens krumning - polygonens toppunkter er i en vis forstand punkter med uendelig krumning, og hvis polygonen tilnærmes med en glat kurve, punkter med ekstrem krumning vil ligge nær polygonens toppunkter [4] . Tilnærmelse af polygonen med en glat kurve giver imidlertid yderligere hjørner ved punkter med minimal krumning.

Hjørner af plane flisebelægninger

Toppunktet af en flad belægning ( flisebelægning ) er det punkt, hvor tre eller flere fliser af flisebelægningen [5] mødes , men ikke kun det: flisernes fliser er også polygoner, og flisebelægningens spidser er hjørnerne af disse fliser. Mere generelt kan en flisebelægning ses som en slags topologisk CW-kompleks . Hjørnerne af andre slags komplekser, såsom simple komplekser, er nuldimensionelle flader.

Hovedtopmøde

Toppunktet for en simpel polygon er hovedpunktet, hvis diagonalen kun skærer grænserne ved og . Der er to typer hovedtoppe: "ører" og "munde" (se nedenfor) [6] . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$ ${\displaystyle x_{i-1))$ $x_{i+1}$

"Ører"

Hovedspidsen af en simpel polygon kaldes et "øre", hvis diagonalen ligger helt i . (se også konveks polygon ) $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

"Munde"

Hovedspidsen af en simpel polygon kaldes en "mund", hvis diagonalen ligger udenfor . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

Antal hjørner af et polyeder

Enhver overflade af et tredimensionelt konveks polyeder har Euler-karakteristikken :

V-E+F=2,

hvor er antallet af hjørner, er antallet af kanter og er antallet af flader. Denne lighed er kendt som Euler-ligningen . For eksempel har en terning 12 kanter og 6 flader, og derfor - 8 hjørner: . $V$ $E$ $F$ $8-12+6=2$

Hjørner i computergrafik

I computergrafik er objekter ofte repræsenteret som triangulerede polyedere , hvor genstandens hjørner ikke kun er forbundet med tre rumlige koordinater , men også med anden grafisk information, der er nødvendig for den korrekte konstruktion af billedet af objektet, såsom farve, reflektivitet , tekstur , toppunktnormaler [ 7] . Disse egenskaber bruges ved gengivelse med vertex shader , en del af vertex -processoren

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Vertex (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Heath, 1956 .
↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. 29.
↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008 .
↑ Jaric, 1989 , s. 9.
↑ Devadoss, O'Rourke, 2011 .
↑ Christen, 2009 .

Litteratur

Thomas L. Heath. De tretten bøger om Euklids elementer. — 2. udg. New York: Dover Publications, 1956 (Autentisk oversættelse af Euklids elementer, med omfattende historisk forskning og detaljerede kommentarer til bogens tekst.)
Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Teori og anvendelser. - 2007. - ISBN 978-0-444-82937-5 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstrakte regulære polytoper . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
Introduktion til matematikken af kvasikrystaller / MV Jaric. - Academic Press, 1989. - Vol. 2. - (Aperiodicitet og orden). — ISBN 0-12-040602-0 .
Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler Diskret differentialgeometri. - Birkhäuser Verlag AG, 2008. - ISBN 978-3-7643-8620-7 .
Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Diskret og beregningsgeometri . - Princeton University Press , 2011. - ISBN 978-0-691-14553-2 .
Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex-attributter. — Khronos Group , 2009.