Jacksons kerne

I tilnærmelsesteori er Jackson-kernen en -periodisk funktion givet af formlen: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\right)^{4}$

Opkaldt efter en videnskabsmand, der arbejdede på teorien om tilnærmelser og trigonometriske polynomier - Dunham Jackson .

Denne funktion er en kerne , som giver en delsum af Fourier-serien .

Jackson kerne konstant

Konstanten bestemmes ud fra relationen og er lig med $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Bevis

Vi bruger Parsevals lighed til tilfældet med rum L 2 :

Hvis , så er følgende identitet sand: $f\in \mathbb {L} _{2}$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

Det er nødvendigt at erstatte denne lighed $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Først skal du skrive et udtryk for at bruge Fejér -kernen og Dirichlet-kernen : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\venstre({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Den følger det

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Ved at bytte de to summer og anvende den passende transformation for indeksene får vi:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\ sum \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Yderligere er det indlysende, at koefficienterne for det resulterende trigonometriske polynomium vil være Fourier-koefficienterne af dets sum, dvs. $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Det er kun tilbage at erstatte disse koefficienter i det tilsvarende udtryk for integralet:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\right) =\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Så ved at erstatte Jackson-kernen i den grundlæggende identitet, kan vi få et udtryk for konstanten: Således er påstanden om konstanten bevist.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Se også

Litteratur

AV Efimov. Jackson Singular Integral (utilgængeligt link) (2001). Hentet 11. oktober 2010. Arkiveret fra originalen 2. oktober 2010. (ubestemt)
A. Shadrin. Approximation Theory – Forelæsning 9 (University of Cambridge - Institut for Anvendt Matematik og Teoretisk Fysik) (utilgængeligt link) (2005). Hentet 11. oktober 2010. Arkiveret fra originalen 5. juni 2011. (ubestemt)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriske Fourier-serier og elementer af tilnærmelsesteori. - L . : Forlag Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Trigonometrisk serie . - Moskva: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1961. - S. 936 .
D.Jackson. Tilnærmelsesteorien. — Amer. Matematik. Soc., 1930.