Hermitisk matrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. november 2021; checks kræver 4 redigeringer .

En hermitisk (eller selvadjoint ) matrix er en kvadratisk matrix, hvis elementer er komplekse tal, og som, når de transponeres , er lig med det komplekse konjugat: . Det vil sige, for enhver kolonne og række er ligheden sand $A^{T}=\overline {A}$ $jeg$ $j$

a_{{i,\;j}}=\overline {a_{{j,\;i}}},

hvor er det komplekse konjugerede tal k ,

{\overline {a}}

-en

eller

A=({\overline {A)))^{T}=A^{*}=A^{\dolk },

hvor er den hermitiske bøjning ${}^{*}$

{\displaystyle {}^{\dolk ))

er den hermitiske konjugationsoperator (notation i kvantemekanik ).

For eksempel matrix

{\begin{bmatrix}5&2+i\\2-i&7\end{bmatrix}}

er Hermitian.

Derfor er en anti- hermitisk matrix en kvadratisk matrix, hvis elementer opfylder ligheden eller . $a_{{i,\;j}}=-\overline {a_{{j,\;i}}}$ $A=-A^{*}$

Den hermitiske matrix fik sit navn efter Charles Hermite viste i 1855, at matricer af denne form, ligesom symmetriske matricer , har reelle egenværdier .

Grundlæggende egenskaber

Den hermitiske matrix er normal .

De diagonale elementer i den hermitiske matrix er ægte .

En ægte hermitisk matrix (det vil sige en, hvis elementer alle er reelle tal) er symmetrisk :

På samme måde er en rent imaginær hermitisk matrix (med elementer uden reelle bestanddele) skævsymmetrisk .

Determinanten for en hermitisk matrix er et reelt tal.

Summen af to hermitiske matricer er hermitisk.

Det omvendte af en hermitisk matrix er også hermitisk, hvis den eksisterer.

Produktet af to hermitiske matricer er hermitisk hvis og kun hvis de pendler med hinanden, det vil sige hvis . $AB=BA$

For en hermitisk matrix er alle egenværdier reelle, og egenvektorerne kan samles i et ortonormalt system .

Egenvektorerne for den hermitiske matrix svarende til forskellige egenværdier er ortogonale. Men hvis to egenvektorer svarer til en egenværdi, så er de ikke nødvendigvis ortogonale i forhold til hinanden, men ortogonale i forhold til alle andre egenvektorer, der svarer til andre egenværdier.

Jordan-formen af en hermitisk matrix er diagonal .

Yderligere egenskaber

Summen af enhver kvadratisk matrix og dens hermitiske konjugat er hermitisk. $B$ $B^{*}$ $(B+B^{*})$
Forskellen mellem enhver kvadratisk matrix og matrixen Hermitian-konjugatet til den er anti-Hermitian, det vil sige . $B$ $B^{*}$ $(BB^{*})$ $BB^{*}=-(BB^{*})^{*}$
Enhver kvadratisk matrix C kan repræsenteres som summen af en hermitisk og en anti-hermitisk matrix:

C=A+B

, og disse vilkår er entydigt bestemt: , . At de er hermitiske og anti-hermitiske følger af de to foregående påstande, hhv.

A=(C+C^{*})/2

B=(CC^{*})/2

Hermitisk matrix

Grundlæggende egenskaber

Yderligere egenskaber

Se også

Links