Chua kæde

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Chua -kredsløb eller Chua-kredsløb er det enkleste elektriske kredsløb , der demonstrerer kaotiske svingninger. Det blev foreslået af en professor ved University of California, Leon Chua i 1983 . Kredsløbet består af to kondensatorer , en induktor , en lineær modstand og en ikke-lineær negativ modstandsmodstand (almindeligvis omtalt som en Chua-diode ).

Matematisk model

Ligningssystemet for kredsløbet vist i figur 1 kan opnås ved hjælp af den første Kirchhoff-regel og formlen for spændingen på induktoren:

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2)))+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}},\end{aligned}}\right.

hvor og er spændingerne på kapacitanserne, er strømmen gennem induktoren, er en stykkevis lineær funktion, der karakteriserer Chua-dioden, defineret som $v_{C_{1))$ $v_{C_{2))$ $i_{L}$ $g(v_{{C_{1}}})$

g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b}){\big (}|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|{\big )}.

Denne ikke-lineære funktion er repræsenteret grafisk i figur 2: stejlheden af de indre og ydre sektioner er henholdsvis Ga og Gb ; i dette tilfælde svarer punkterne ± E til brud i grafen.

Lad os foretage følgende erstatninger for dimensionsløse koefficienter:

m_{0}={\frac {G_{a}}{G)),\quad m_{1}={\frac {G_{b}}{G)),\quad \alpha ={\ frac {C_{2}}{C_{1}}},\quad \beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}},

\tau ={\frac {tG}{C_{2))},\quad x={\frac {v_{C_{1))}{E)),\quad y={\frac {v_ {C_{2}}}{E}},\quad z={\frac {i_{L}}{EG}}.

Hovedligningssystemet kan skrives i formen

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{d\tau }}&=\alpha {\big (}yxh(x){\big )},\\{\frac { dy}{d\tau }}&=x-y+z,\\{\frac {dz}{d\tau }}&=-\beta y,\end{aligned}}\right.

hvor

h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1}){\big (}|x+1|-|x-1| {\stor )}.

Driftsmåder

Chua-kredsløbet detekterer kaotiske oscillationstilstande i et ret snævert område af parametre. De vigtigste oscillationstilstande er betinget vist i figur 3.

I det tilfælde, hvor parametrene α og β tilhører området angivet med tallet 1 i diagrammet, er der to stabile ligevægtspositioner d og − d i systemet og en ustabil placeret ved origo 0. I dette tilfælde Chua-kæden, afhængigt af de indledende betingelser, vil tendere til en af de to stabile ligevægtspositioner. I det tilfælde, hvor systemparametrene er i området markeret med tallet 2 , er der i nærheden af ligevægtspunktet d eller −d en stabil grænsecyklus . Når det nærmer sig grænsen med et kaotisk regime, gennemgår systemet en cyklus af periodefordoblinger op til dannelsen af en kaotisk Rössler-attraktor . Forøgelsen af parameterværdier før starten af hver efterfølgende periodes fordoblingsbifurkation falder i henhold til Feigenbaum-relationen . Når parametrene falder ind i området markeret med tallet 6 , dannes en mærkelig attraktor (figur 4), kaldet en "dobbelt rulle" ( eng. double scroll ). Med denne type adfærd passerer systemets bane i nærheden af både den øvre og den nedre ligevægtsposition. Inden for området for eksistensen af "double curl"-attraktoren er der også vinduer med periodicitet svarende til dem, der eksisterede i regionen for Rössler-attraktoren . Deres forskel er, at den periodiske bane i dette tilfælde dækker begge ligevægtspositioner. Når parametrene α og β passerer ind i området markeret i figur 3 med tallet 11 , observeres svingninger med en uendeligt stigende amplitude i det oscillatoriske system, uanset startbetingelserne. Fordi Chua dioden er implementeret i op-amps, har den et begrænset dynamikområde, og derfor er der også en stor stabil grænsecyklus i systemet, der dækker alle segmenter af Chua diodens karakteristika.

Figur 5, 6 viser tidsafhængighederne af de svingninger, der detekteres af dette system.

Figur 4. Dobbelt krølleattraktor. Lissajous figur i L fra v C1 ved L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = 1F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V
Figur 5. Tidsafhængighed v C1 for tilfældet L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9F; C2 = 1F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V
Figur 6. Tidsafhængighed af v C2 for tilfældet L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = 1 F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V

Chua Oscillator

Udtrykket "Chua Oscillator" bruges til at betragte Chua-kredsløbet under hensyntagen til den aktive modstand af induktoren L. Dette kredsløb har et endnu større antal forskellige tilstande og kan implementeres praktisk (figur 7).

Tager vi R 0 - den aktive modstand af induktoren L, får vi et ligningssystem

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{c_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{c_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}}+R_{0}i_{L}.\ ende{aligned}}\right.

Den lette praktiske implementering, såvel som tilstedeværelsen af en relativt simpel matematisk model, gør Chua-kredsløbet til en bekvem model til at studere kaos .

Se også

memristor

Litteratur

Kuznetsov A.P. Visuelle billeder af kaos // Soros Educational Journal , 2000, nr. 11, s. 104-110;
Bugaevsky M. Yu., Ponomarenko VI Studie af Chua-kædeadfærd. Undervisningshjælp , - Saratov: Forlag for State University Center "College", 1998. - 29 s.
Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua's Circuit , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1984, vol. CAS-31, nr. 12, s. 1055-1058.
Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, nr. 11, s. 1073-1118.
T. Matsumoto, L.O. Chua, M. Komuro. "Birth and death of the double scroll" , Physica D bind 24, udgave 1-3 (jan/feb 1987).
Stankevich NV; Kuznetsov NV; Leonov G. A.; Chua L. (2017). "Scenario for fødslen af skjulte attraktioner i Chua-kredsløbet". International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038–188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
N.V. Kuznetsov. Teori om skjulte svingninger og stabilitet af kontrolsystemer // Izvestiya RAN. Teori og kontrolsystemer. - 2020. - Nr. 5 . - S. 5-27 . - doi : 10.31857/S0002338820050091 .