Karakteristisk funktion af en stokastisk variabel

Den karakteristiske funktion af en stokastisk variabel er en af måderne at specificere fordelingen på . Karakteristiske funktioner kan være mere bekvemme i tilfælde, hvor for eksempel tætheds- eller fordelingsfunktionen har en meget kompleks form. Karakteristiske funktioner er også et praktisk værktøj til at studere spørgsmål om svag konvergens (konvergens i distribution) . Yu.V. _ Linnik , I.V. Ostrovsky, K.R. Rao , B. Ramachandran.

Definition

Lad der være en stokastisk variabel med fordeling . Så er den karakteristiske funktion givet af formlen: $x$ $\mathbb {P} ^{X}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]

Ved at bruge formlerne til beregning af den matematiske forventning kan definitionen af den karakteristiske funktion omskrives som:

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

det vil sige, at den karakteristiske funktion er den inverse Fourier-transformation af fordelingen af en stokastisk variabel.

Hvis en tilfældig variabel tager værdier i et vilkårligt Hilbert-rum , så har dens karakteristiske funktion formen: $x$ ${\mathcal {H}}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\forall t\in {\mathcal {H))

hvor angiver prikproduktet i . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathcal {H}}$

Diskrete og absolut kontinuerte tilfældige variabler

Hvis den tilfældige variabel er diskret , det vil sige , så $x$ $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

Eksempel. Lad har en Bernoulli distribution . Derefter $x$

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

Hvis den tilfældige variabel er absolut kontinuert , det vil sige, den har en tæthed , så $x$ $f_{X}(x)$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

Eksempel. Let har en standard kontinuerlig ensartet fordeling . Derefter $X\simU[0,1]$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it} }\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

Egenskaber for karakteristiske funktioner

Den karakteristiske funktion bestemmer entydigt fordelingen. Lad der være to stokastiske variable, og . Så . Især hvis begge mængder er absolut kontinuerte, så indebærer sammenfaldet af de karakteristiske funktioner sammenfaldet af tæthederne. Hvis begge stokastiske variable er diskrete, så medfører sammenfaldet af de karakteristiske funktioner sammenfaldet af sandsynlighedsfunktionerne. $X,Y$ $\phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Den karakteristiske funktion er altid afgrænset:

|\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R}

Den karakteristiske funktion ved nul er lig med en:

\phi _{X}(0)\ =1

Den karakteristiske funktion er altid ensartet kontinuerlig : . $\phi _{X}\in C(\mathbb {R} )$
Den karakteristiske funktion som funktion af en stokastisk variabel er homogen:

\phi _{aX}(t)=\phi _{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Den karakteristiske funktion af summen af uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres karakteristiske funktioner. Lade være uafhængige tilfældige variable. Lad os betegne . Derefter $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

\phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)

Den karakteristiske funktion er hermitisk: for alle reelle værdier er ligheden sand , hvor betyder den komplekse konjugerede funktion [1] . $t$ $\phi _{X}(-t)={\overline {\phi}}_{X}(t)$ ${\overline {\phi ))_{X}(t)$ $\phi _{X}(t)$
Inversionssætning (Levi). Lad være fordelingsfunktionen og være dens karakteristiske funktion. Hvis og er kontinuitetspunkter , så $F$ $\phi$ $-en$ $b$ $F$

F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^ {-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.

Den karakteristiske funktion er positivt defineret: for hvert heltal , for alle reelle tal og alle komplekse tal , er uligheden [2] sand . Her betyder det komplekse konjugat af et tal. $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Beregning af momenter

Hvis den stokastiske variabel har et indledende th moment , så har den karakteristiske funktion en kontinuerlig th afledet , dvs. og desuden: $x$ $n$ $n$ $\phi _{X}\in C^{n}(\mathbb {R} )$

i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}( t)\right\vert _{t=0}

Invers Fourier Transform

Lad en stokastisk variabel gives, hvis karakteristiske funktion er lig . Derefter $x$ $\phi _{X}(t)\$

hvis det er diskret og tager heltalsværdier, så $x$

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{ X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z}

;

hvis er absolut kontinuerlig, og er dens tæthed, så $x$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}( t)\,dt,\;x\in \mathbb {R}

Tilstrækkelige betingelser

For at en funktion skal være en karakteristisk funktion af en eller anden tilfældig variabel, er det tilstrækkeligt , at det er en ikke-negativ, jævn, kontinuerlig, nedad konveks funktion, og for ( Titchmarsh-Polyi-sætning ). $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (t)\rightarrow 0$ $t\højrepil\infty$

Nødvendige og tilstrækkelige betingelser

Lade være en kontinuerlig funktion og . For at en funktion skal være karakteristisk, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det er en positiv bestemt funktion, det vil sige for hvert heltal , for alle reelle tal og eventuelle komplekse tal , er uligheden ( Bochner-Khinchin-sætning ) opfyldt. Her betyder det komplekse konjugat af [2] . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Se også

Levis kontinuitetssætning (metode for karakteristiske funktioner).
Direkte og omvendt grænsesætning
Titchmarsh-Poyi teorem
Bochner-Khinchins sætning

Noter

↑ B. Ramachandran Theory of characteristic functions, M., Nauka, 1975
↑ 1 2 Korolyuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Handbook of probability theory and matematisk statistik. - M., Nauka, 1985. - s. 65

Litteratur

Linnik Yu.V. , Ostrovsky I.V. Dekomponeringer af tilfældige variable og vektorer, Nauka, M., 1972.
Lukacs E. Karakteristiske funktioner. - M., Nauka, 1979. - 424 s.