En funktion, der har et antiderivat

En funktion, der har et antiderivat , er en funktion, der kan opnås som et resultat af at differentiere en funktion. Normalt bruges udtrykket i forhold til reelle værdier af funktioner af en reel variabel, defineret på intervallet . Disse funktioner vil blive diskuteret senere i artiklen.

Definition

Lad , hvor er et ikke-trivielt interval (det vil sige ikke et tomt sæt og ikke et punkt). En funktion kaldes antiderivativ hvis . Hvis en sådan funktion eksisterer, så siger vi, at den har en antiderivat. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $f$ $F' = f$ $F$ $f$

Eksempler

Enhver kontinuerlig funktion har en antiderivativ. Dette følger af egenskaberne for Riemann-integralet med en øvre variabel grænse . Ved at bruge det kan du nemt genoprette det primitive. Det er dog ikke alle antiderivatfunktioner, der er kontinuerte. Det er disse funktioner, der er af interesse.

Eksempel 1. Begrænset funktion med et mellemrum

Det mest berømte eksempel på en diskontinuerligt differentierbar funktion er følgende:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Den afledede af denne funktion på alle punkter undtagen nul kan beregnes efter de sædvanlige regler for differentiering . Den afledte ved nul skal per definition beregnes:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}}-0}{x}}=\lim _{ x\til 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

Dens afledte er:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[en]

Man kan nemt kontrollere, at denne funktion ikke har nogen grænse ved nul. Faktisk komponerer vi to sekvenser, der har en tendens til nul , og så de annullerer sinus, men , og . Derefter: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty }g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty }g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Grænsen i eksisterer altså ikke, og funktionen bryder i den. $0$

Lad os nu bevise begrænsningen. Lad . Derefter: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Derfor er funktionen begrænset. Lad os finde grænsen, da argumentet har en tendens til det uendelige. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

Grænsen ved uendelighed er finit, hvilket betyder, at funktionen er begrænset i et eller andet område af uendelig ( tag mere ). På segmenter og funktionen er kontinuert, mens en funktion kontinuert på et segment er afgrænset på den. Unionen af alle disse mængder udgør hele tallinjen, og vi beviste, at funktionen er afgrænset på hver af dem separat, og da der er et endeligt antal af dem, vil den være afgrænset på hele tallinjen (maksimum af majoranterne på hvert sæt vil give majoranten på hele linjen ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $-en$ $en$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

Eksempel 2. Funktion med et mellemrum, ubegrænset i sit nabolag

Lad os ændre det foregående eksempel for at få en ubegrænset funktion.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ slut{cases}}

På samme måde betragtes dets derivat.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

Vi vil bevise diskontinuiteten ved nul på en anden måde. Vi tager en sekvens, der har en tendens til nul , så den annullerer sinus, men . Derefter: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ til \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

Dette beviser også automatisk, at funktionen er ubegrænset i et område med nul.

Det er også interessant, at funktionen på det tidspunkt har en betydelig diskontinuitet og ikke en uendelig. For at kontrollere dette er det nok at tage en sekvens, så den annullerer cosinus og gør sinus til en. Det er let at beregne, at grænsen for funktionen i dette tilfælde er . De to sekvenser gav en forskellig grænse, hvilket betyder, at der ikke er nogen grænse. $0$ $0$

Eksempel 3. En funktion med et tælligt sæt diskontinuitetspunkter

Det er ikke svært at bygge en funktion med to, tre, fire, fem, et hvilket som helst begrænset antal brudpunkter: blot tilføje det nødvendige antal funktioner med et brudpunkt. Antiderivatet for dem vil da være summen af deres antiderivater. For eksempel en funktion med tre brudpunkter:

g(x)+g(x-1)+g(x-2)

, hvor er funktionen af eksempel 1.

g

Det er logisk at antage, at for at opnå en funktion med et tælleligt sæt af diskontinuitetspunkter, er det nødvendigt at tilføje en række af sådanne funktioner. Der opstår dog en vanskelighed her: serien konvergerer muligvis ikke. For at opnå den nødvendige funktion er det nødvendigt på en eller anden måde at sikre konvergensen af denne serie. Desuden er det ikke et faktum, at summen af denne serie efter dette vil være en afledt af summen af en serie af antiderivater. Alt dette kræver yderligere analyse.

Lad os tage en rækkefølge og nogle positive konvergent talserier . Så serien $a_n$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

konvergerer ensartet ifølge Weierstrass-testen (funktionen er, som vi husker, begrænset). En række primitiver $g$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

konvergerer punktvis. Du kan anvende teoremet om term-for-term differentiering af rækken .

Kontinuitet på alle punkter undtagen punkterne i sekvensen følger af egenskaberne for ensartet konvergerende rækker. Diskontinuiteten i ikke-negative heltal følger af følgende betragtning. For hvert sådant nummer kan du smide et udtryk ud, der er diskontinuerligt i det. De resterende led er kontinuerlige, og deres sum er også kontinuert. Summen af en funktion, der er diskontinuerlig og kontinuert i et punkt, er diskontinuerlig. [3] $a_n$

Grafen viser en sådan funktion for en række af rationelle tal og en geometrisk progression som en serie.

Egenskaber

For enhver funktion, der har en antiderivativ, er egenskaben for mellemværdi opfyldt: lad definitionsdomænet inkludere punkterne og . Derefter $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\ \exists \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi ) =\eta

[fire]

Alle diskontinuitetspunkter (punkter, hvor funktionen er defineret, men ikke kontinuert) er signifikante. [5]
Den ensidige grænse på et punkt i definitionsdomænet kan ikke være uendelig. Hvis punktet er et diskontinuitetspunkt, eksisterer mindst én af de ensidige grænser ikke.
Bilaterale, venstre, højre usikkerhedssæt for ethvert punkt i definitionsdomænet er et segment af den udvidede reelle linje. Segmenter kan være et hvilket som helst, undtagen et-punkt, der kun indeholder uendeligt. Højre og venstre usikkerhedssæt er muligvis ikke sammenfaldende.
Hvis domænet for en funktion er et interval eller et halvt interval, har den et grænsepunkt, der ikke er inkluderet i definitionsdomænet. Grænsen på et sådant tidspunkt kan allerede være uendelig. Usikkerhedssættet for et sådant punkt er også et segment af den udvidede reelle linje, men denne gang tillades et-punktssegmenter med kun uendelighed.
Værdien på ethvert punkt af definitionsdomænet er altid en delvis grænse på begge sider (hvis punktet er et slutpunkt, så på den ene side). [6]
Funktioner, der har et antiderivat, er i den første Baer-klasse . [7]
Sættet af diskontinuitetspunkter for en funktion, der har en antiderivativ, er -sættet af den første Baer-kategori . Desuden er ethvert -sæt i den første Baer-kategori sættet af diskontinuitetspunkter for en eller anden funktion, der har en antiderivat. [otte] $G_\delta$ $G_\delta$

Integration

Ubestemt integral

Det ubestemte integral af en funktion er per definition mængden af alle dens antiderivater. Derfor har enhver funktion, der har en antiderivat, også et ubestemt integral.

Alle antiafledte funktioner adskiller sig med en konstant, og enhver funktion, der adskiller sig fra et antiderivat med en konstant, er også en antiderivat. Derfor er det ubestemte integral mængden opnået ved at tilføje alle mulige konstanter til en eller anden antiderivativ, dvs.

\int f(x)\,dx=F(x)+C

For at opfylde denne egenskab spiller det, der er defineret på intervallet, en stor rolle. Hvis vi i definitionen tillader, at definitionsdomænet ikke er et interval, men en forening af ikke-skærende ikke-trivielle intervaller, så behøver antiderivaterne ikke længere at adskille sig med en konstant. På hvert af intervallerne i definitionsdomænet er forskellen mellem antiderivaterne en konstant, men på forskellige intervaller kan disse konstanter være forskellige. Det vil sige, lad være defineret på , hvor er ikke-skærende ikke-trivielle intervaller, og ikke to af dem kan kombineres til et interval. Derefter $f$ $f$ ${\displaystyle X=X_{1}\kop \ldots \kop X_{n))$ ${\displaystyle X=X_{1},\ldots ,X_{n))$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\i X_{n}.\end{cases}}

Konstanterne her løber gennem alle mulige værdier. ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n))$

Noter

↑ Bruckner, 1978 , s. 45.
↑ Bruckner, 1978 , s. 73.
↑ Bruckner, 1978 , s. 47.
↑ Bruckner, 1978 , s. 3.
↑ Bruckner, 1978 , s. fire.
↑ Bruckner, 1978 , s. 9.
↑ Bruckner, 1978 , s. 12.
↑ Bruckner, 1978 , s. 46.

Litteratur

Bruckner A.M. Differentiering af reelle funktioner . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 s. — (Forelæsningsnotater i matematik). - ISBN 978-3-540-35776-6 .