Gauss-Ostrogradsky formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. juli 2021; checks kræver 10 redigeringer .

Gauss-Ostrogradsky formlen forbinder strømmen af et kontinuerligt differentierbart vektorfelt gennem en lukket overflade og integralet af divergensen af dette felt over volumenet afgrænset af denne overflade.

Formlen bruges til at konvertere et volumenintegral til et integral over en lukket overflade og omvendt.

Ordlyd

Vektorstrømmen gennem en lukket overflade er lig med integralet af overtaget volumen afgrænset af overfladen [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operatørnavn {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatørnavn {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

I koordinatnotation tager Ostrogradsky-Gauss formlen formen:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\venstre({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z }}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- vektorprojektioner

\mathbf {a}

Konsekvenser fra Ostrogradsky-Gauss-sætningen: 1) i det magnetiske felt ( ) er vektorstrømmen gennem enhver lukket overflade lig med nul.

\operatørnavn {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) hvis der er en kilde eller synke inde i en lukket overflade , så afhænger vektorfluxen gennem denne overflade ikke af dens form.

S

\mathbf {a}

Noter

I Ostrogradskys arbejde er formlen skrevet i følgende form:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

hvor og er henholdsvis volumen- og overfladeforskellene. er funktioner, der er kontinuerte sammen med deres partielle afledte af første orden i et lukket område af rummet afgrænset af en lukket glat overflade [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Moderne notation af formlen:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

hvor , og . I moderne notation - et volumenelement, - et element af overfladen [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

En generalisering af Ostrogradsky- formlen er Stokes-formlen for manifolder med grænse.

Historie

Sætningen blev først etableret af Lagrange i 1762 [3] .

Den generelle metode til at konvertere et tredobbelt integral til et overfladeintegral blev først vist af Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) ved at bruge eksemplet med problemer inden for elektrodynamik [4] .

I 1826 udledte M. V. Ostrogradsky formlen i en generel form, og præsenterede den som et teorem (udgivet i 1831 ). M. V. Ostrogradsky offentliggjorde en multidimensionel generalisering af formlen i 1834 [4] . Ved hjælp af denne formel fandt Ostrogradsky et udtryk for den afledede med hensyn til en parameter af -fold integralet med variable grænser og opnåede en formel for variationen af -fold integralet. $n$ $n$

I udlandet kaldes formlen normalt for "divergenssætningen" ( engelsk divergenssætning ), nogle gange - Gauss-formlen eller "Gauss-Ostrogradsky-formlen (sætning)."

Se også

Noter

↑ "Mathematical Dictionary of Higher School" V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Forlaget MPI. artiklen "Ostrogradskys teorem" side 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. et al. Matematisk analyse. Fortsættelse af kurset / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. Ed. A. N. Tikhonova. - M .: Forlag ved Moscow State University, 1987. - 358 s.
↑ I et værk om lydteorien i 1762 betragter Lagrange et særligt tilfælde af teoremet: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nye undersøgelser om lydens natur og udbredelse), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Genoptrykt udgave: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Arkiveret 15. maj 2016 på Wayback Machine i JA Serret, red., Oeuvres de Lagrange , (Paris , Frankrig: Gauthier -Villars, 1867), bd. 1, side 151-316; på side 263-265 Arkiveret 13. maj 2016 på Wayback Machine Lagrange konverterer tredobbelte integraler til dobbelte integraler ved hjælp af integration af dele .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematiske termer (Opslagsbog). Moskva: Højere skole, 1978, s. 150-151.

Litteratur

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Mem. l'Acad. (VI), 1, s. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. l'Acad., 1, s. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)