Jones formalisme

Jones-formalismen er et matematisk apparat til at analysere polariseringen af en lysbølge, hvor polariseringen er givet af de såkaldte Jones-vektorer, og de lineære optiske elementer er givet af Jones - matricerne [1] . Formalisme blev foreslået i 1941 af Robert Clark Jones. Jones-formalismen er anvendelig for fuldt polariseret lys, for upolariseret eller delvist polariseret lys skal man bruge Mullers formalisme .

Jones Vector

Jones vektoren beskriver polariseringen af lys i et vakuum eller et andet homogent isotropt medium i fravær af absorption, hvor lyset kan beskrives ved en tværgående elektromagnetisk bølge. Lad en plan bølge forplante sig i positiv retning langs z - aksen og have en cyklisk frekvens ω og en bølgevektor k = (0,0, k ), hvor bølgetallet er k = ω / c . Så er de elektriske og magnetiske felter ( E og H ) ortogonale til k i hvert punkt; det vil sige, at de ligger i et plan på tværs af bevægelsesretningen. Desuden bestemmes H med E roteret med 90 grader og ganget med en vis faktor afhængigt af enhedssystemet og mediets bølgeimpedans . Derfor, når man studerer polarisering, er det tilstrækkeligt at fokusere på E. Den komplekse amplitude E er skrevet

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}

Den fysiske værdi af E bestemmes af den reelle del af denne vektor, og den komplekse faktor beskriver bølgens fase.

Så defineres Jones-vektoren som:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Så Jones-vektoren gemmer information om amplituden og fasen af x- og y - komponenterne i feltet.

Summen af kvadraterne af de absolutte værdier af de to komponenter i Jones-vektoren er proportional med lysintensiteten. Normalt normaliseres den til én på det punkt, hvor beregningen begynder. Det er også almindeligt antaget, at den første komponent i Jones-vektoren er et reelt tal . I dette tilfælde kasseres information om samlingsfasen, hvilket dog er nødvendigt for at beregne interferens med andre stråler.

Jones vektorer og matricer er angivet således, at bølgens fase er givet ved . Med denne definition svarer en stigning (eller ) til et faseforsinkelse og et fald til et fremskridt. For eksempel angiver Jones vektorkomponenten ( ) en forsinkelse (eller 90 grader) efter 1. En anden konvention ( ) gælder, så læseren skal være forsigtig. $\phi =kz-\omega t$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $jeg$ $=e^{i\pi /2}$ $\pi /2$ $\phi =\omega t-kz$

Følgende tabel indeholder 6 populære eksempler på Jones-vektoren:

Lyspolarisering	Jones vektor	Typisk ket-betegnelse
Lineært polariseret i x almindeligt navn - vandret	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Lineært polariseret i y er det sædvanlige navn lodret	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix))$	$\|V\rangle$
Lineært polariseret i en vinkel på 45° i forhold til x-aksen, er det sædvanlige navn diagonal L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Lineært polariseret i en vinkel på -45° i forhold til x-aksen, er det sædvanlige navn anti-diagonal L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Cirkulær polarisering mod uret almindeligt navn - RCP eller RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Cirkulær polarisering med uret , almindeligvis kendt som LCP eller LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Generelt kan enhver vektor skrives i ket-notation som . Ved at bruge Poincaré-sfæren (også kendt som Bloch-sfæren ), skal basis-ket-vektorerne ( og ) angive de modsatte ket-vektorer fra de listede par. For eksempel kan du skrive = og = . Valget her er vilkårligt. Modsatte par: $|\psi\rangle$ $|0\interval$ $|1\interval$ $|0\interval$ $|H\rangle$ $|1\interval$ $|V\rangle$

$|H\rangle$ at $|V\rangle$
$|D\rangle$ at $|A\rangle$
$|R\rangle$ at $|L\rangle$

Jones-matricer

Jones-matricer kaldes operatorer, der virker på Jones-vektorer. De er bestemt for forskellige optiske elementer: linser, stråledelere, spejle og så videre. Hver matrix er en projektion på det endimensionelle komplekse rum af Jones-vektorer. Følgende tabel viser eksempler på Jones-matricer for polarisatorer:

Optisk element	Jones matrix
Lineær [[]]polarisator med vandret transmissionsakse [1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Lineær polarisator med lodret transmissionsakse [1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Lineær polarisator med transmissionsakse i en vinkel på ±45° i forhold til vandret [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Højrehåndet cirkulær polarisator [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Venstrehåndet cirkulær polarisator [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Fasemanipulation

Fasekonvertere introducerer en ændring i faseforskellen mellem den lodrette og horisontale polarisation og styrer således strålepolariseringen. De er normalt lavet af enaksede dobbeltbrydende krystaller såsom calcit , MgF 2 eller kvarts . Enaksede krystaller har en af krystalakserne forskellig fra de to andre (dvs. n i ≠ n j = n k ). Denne akse kaldes usædvanlig eller optisk. Den optiske akse kan være hurtig eller langsom, afhængigt af krystal. Lys bevæger sig med høj fasehastighed langs aksen med det laveste brydningsindeks , og denne akse kaldes hurtigaksen. På samme måde kaldes aksen med det højeste brydningsindeks for den langsomme akse. "Negative" enaksede krystaller (f.eks. calcit CaCO 3, safir Al 2 O 3 ) har ne < n o , så for disse krystaller er den usædvanlige (optiske) akse hurtig, mens "positive" enaksede krystaller (f.eks. kvarts SiO ) 2 , magnesiumfluorid MgF2 , rutil TiO2 ) har ne > n o , og deres usædvanlige akse er langsom.

En faseomformer med en hurtig akse, der falder sammen med x- eller y-aksen, har nul off-diagonale led, og derfor kan den vises af matrixen

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

hvor og er faserne af det elektriske felt i henholdsvis x- og y -retningen . I denne notation specificerer den relative fase mellem to bølger som . Så betyder en positiv værdi (dvs. > ) at den ikke vil have den samme værdi, som den vil i nogen tid endnu, dvs. forude . På samme måde, hvis , så går foran . For eksempel, hvis den hurtige akse af en kvartbølgeplade er vandret, så vil fasehastigheden af den vandrette polarisation være foran fasehastigheden for den vertikale polarisation , dvs. Hvis , som for en kvartbølgeplade giver . $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi =kz-\omega t$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x))$ $\epsilon$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $\epsilon <0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y))$ $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$

En alternativ notation for fase er: , definerer relativ fase som . Så betyder det, at der i nogen tid ikke vil være den samme værdi , så forud for . $\phi =\omega t-kz$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y))$ $\epsilon >0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$

Element	Jones matrix
Kvartbølgeplade med lodret hurtigakse [2] [3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Kvartbølgeplade med vandret hurtigakse	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Kvartbølgeplade med en hurtig akse i en vinkel i forhold til den vandrette akse $\theta$	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \ theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Halvbølgeplade med en hurtig akse i en vinkel i forhold til den vandrette akse [4] $\theta$	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix))$
Vilkårligt materiale med dobbelt brydning (som fasekonverter) [5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{ i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi}\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{ -i\eta /2})e^{i\phi}\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2 }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Introduktion til moderne optik (ubestemt) . — 2. - Dover, 1989. - S. 35 .
↑ 1 2 Hecht, E. Optik (ubestemt) . — 4. - 2001. - S. 378. - ISBN 0805385665 .
↑ Multiplikatoren vises kun, når faserne er sat symmetrisk, dvs. Bogen [2] bruger denne definition , men ikke bogen [1] . $e^{i\pi /4}$ $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$
↑ Gerald, A. Introduktion til matrixmetoder i optik (uspecificeret) . — 1. - 1975. - ISBN 0471296856 .
↑ Opnåelse af de polariserende og retarderende parametre for et ikke-depolariserende optisk system fra den polære nedbrydning af dets Mueller-matrix , Optik, Jose Jorge Gill og Eusebio Bernabeu, 76 , 67-71 (1987).