Uendelig impulsresponsfilter

Uendelig impulsresponsfilter ( Rekursivt filter , IIR-filter ) eller IIR-filter (IIR forkortelse for uendelig impulsrespons - uendelig impulsrespons) - lineært elektronisk filter , der bruger et eller flere af dets udgange som input, dvs. danner en feedback . Hovedegenskaben ved sådanne filtre er, at deres impulsrespons har en uendelig længde i tidsdomænet, og overførselsfunktionen har en fraktioneret rationel form. Sådanne filtre kan være enten analoge eller digitale .

Eksempler på IIR-filtre er Chebyshev- filteret , Butterworth- filteret , Kalman- filteret og Bessel-filteret .

Beskrivelse

Dynamisk ydeevne

Differenceligningen, der beskriver det diskrete IIR-filter, etablerer forholdet mellem input- og outputsignalerne i tidsdomænet:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(nQ)

hvor er inputsignalrækkefølgen, er inputsignalkoefficienterne, er feedbackrækkefølgen, er feedbackkoefficienterne , er inputsignalet og er outputsignalet. $P$ $b_{{i}}$ $Q$ $a_{{i}}$ $x(n)$ $y(n)$

En mere kompakt notation for differensligningen:

y(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}} y(nk)

For at finde filterkernen sætter vi

x(n)=\delta(n)

hvor er deltafunktionen . $\delta(n)$

Så skrives impulsovergangsfunktionen (filterkernen) som

h(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

Z-transformationen af impulssvaret giver IIR-filterets overførselsfunktion:

H(z)={\frac {\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\sum _{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Bæredygtighed

Stabiliteten af et filter med uendelig impulsrespons bedømmes ud fra dets overførselsfunktion . For et diskret filter er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at alle poler af dets overføringsfunktion modulo er mindre end én (dvs. ligger inden for enhedscirklen på z-planet ). Alle stabilitetskriterier, der er gældende i teorien om lineære stationære systemer , såsom Nyquist-stabilitetskriteriet eller Routh-stabilitetskriteriet, er også anvendelige i tilfælde af IIR-filtre.

I modsætning til FIR-filtre er IIR-filtre ikke altid robuste.

Implementering af et IIR-filter

Hvis en overførselsfunktion af formularen overvejes:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\sum _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{A(z)}},

så skal forholdet mellem input og output af et sådant system opfylde differensligningen:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Denne ligning kan skrives direkte fra udtrykket for overførselsfunktionen, så formen for at konstruere kredsløbet svarende til denne ligning kaldes direkte form 1.

Når vi konstruerer et IIR-filter, kan vi for nemheds skyld antage, at M=N. IIR-filtre kan implementeres ved hjælp af tre elementer eller grundlæggende operationer: en multiplikator, en adderer og en forsinkelsesblok. Disse elementer er tilstrækkelige til alle mulige digitale filtre. Muligheden vist i figuren er en direkte implementering af type 1 IIR-filtre.

Da sættene af koefficienter b(k) og a(k) svarer til polynomierne af tælleren B(z) og nævneren A(z) i overførselsfunktionen H(z), er den direkte form af IIR-filteret vist i figuren kan fortolkes som en kaskadeforbindelse af to kredsløb. Den første af dem implementerer nuller og har en overførselsfunktion B(z), og den anden implementerer poler og har en overførselsfunktion 1/A(z). Ved at angive udgangssignalet fra det første system w(n), kan differensligningen erstattes af ligningssystemet:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

som er implementeret af strukturen vist på figuren.

I diskrete systemer med konstante parametre afhænger forholdet mellem input og output ikke af rækkefølgen af kaskadeforbindelsen af blokke. Den anden direkte form for konstruktion af et IIR-filter følger af denne egenskab. Hvis vi først realiserer polerne H(z) svarende til højre side af blokdiagrammet for den øverste figur, som har overførselsfunktionen 1/A(z), og derefter nullerne af overførselsfunktionen B(z), så får vi strukturen vist i figur 2, som svarer til systemligningerne:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

Ved at kombinere forsinkelseslinjerne i strukturen vist i den øverste figur får vi den direkte kanoniske form af IIR-filteret:

I nogle tilfælde, hvad angår støjydelse, er et filter implementeret i direkte form bedre end i kanonisk form.

Uendelig impulsresponsfilter

Beskrivelse

Dynamisk ydeevne

Bæredygtighed

Implementering af et IIR-filter

Se også

Links