Falsk projektivt plan

Det falske projektive plan (eller Mumford-overfladen ) er en af 50 komplekse algebraiske overflader , der har de samme Betti-tal som det projektive plan , men som ikke er homeomorfe til det. Sådanne objekter er altid generelle algebraiske overflader .

Historie

Severi spurgte, om der er komplekse overflader, der er homeomorfe til det projektive plan, men ikke biholomorfe til det. Yau [1] viste, at der ikke er sådanne overflader, så den nærmeste tilnærmelse til det projektive plan kunne være overflader med de samme Betti-tal som det projektive plan. $(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,0,1,0,1)$

Det første eksempel blev fundet af Mumford [2] ved hjælp af den p - adiske uniformering introduceret uafhængigt af Kurihara og Mustafin. Mumford bemærkede også, at Yaus resultat og Weils teorem om stivheden af kompakte undergrupper af PU(1,2) indebærer, at der kun er et begrænset antal falske projektive planer. Ishida og Kato [3] fandt yderligere to eksempler ved hjælp af lignende metoder, og Kim [4] fandt et eksempel med en automorfi af orden 7, der er birationel til graden 7 cyklisk dækning af Dolgachev-overfladen . Prasad og Yen [5] [6] fandt en systematisk måde at klassificere alle falske projektive planer ved at vise, at der er otteogtyve klasser, der hver indeholder mindst ét eksempel på et falsk projektivt plan op til isometri, og at fem andre klasser kan eksisterer, men senere blev det vist, at der ikke findes sådanne klasser. Problemet med opregning af alle falske projektive planer er reduceret til opregning af alle undergrupper af et passende indeks af det eksplicit givne gitter forbundet med hver klasse. Ved at udvide disse beregninger viste Cartwright og Stager [7] , at otteogtyve klasser udtømmer alle muligheder for falske projektive planer, og at der er i alt 50 eksempler defineret op til isometri, eller 100 falske projektive planer af biholomorfismer.

En generel overflade med de samme Betti-tal som en minimal ikke-generel overflade skal have Betti-tal af enten projektivplanet P 2 eller kvadratet P 1 × P 1 . Shavel [8] konstruerede nogle "falske quadrics" - overflader af generel type med de samme Betti-tal som quadrics. Beauville overflader giver yderligere eksempler.

Modstykkerne til falske projektive overflader i højere dimensioner kaldes falske projektive rum .

Fundamental gruppe

Som en konsekvens af Aubin og Yaus arbejde med at løse Calabi-formodningen i tilfælde af negativ Ricci-krumning [1] [9] , er ethvert falsk projektivt plan en faktor af den komplekse enhedskugle af en diskret undergruppe , som er grundlæggende gruppe af det falske projektive plan. Denne fundamentalgruppe skal derfor være torsionsfri og være en co- kompakt diskret undergruppe af PU(2,1) med Euler-Poincaré karakteristik 3. Klingler [10] og Jahn [11] viste, at denne fundamentalgruppe også skal være en aritmetisk gruppe . Det følger af Mostovoys resultater om streng stivhed , at grundgruppen definerer det falske plan i streng forstand, nemlig at enhver kompakt overflade med samme grundgruppe skal være isometrisk for den.

To falske projektive planer anses for at være af samme klasse, hvis deres fundamentale grupper er indeholdt i den samme maksimale aritmetiske automorfi-undergruppe af enhedskuglen. Prasad og Yen [5] [6] brugte Prasads volumenformel [12] for aritmetiske grupper til en liste over 28 ikke-tomme klasser af falske projektive planer og viste, at der højst kan være fem andre klasser, som højst sandsynligt ikke eksisterer (se artiklens bilag , hvor klassifikationen er blevet opdateret og nogle fejl i den originale artikel er rettet).

Cartwright og Staeger [7] bekræftede, at disse ekstra klasser ikke rigtig eksisterer, og listede alle mulighederne inden for otteogtyve klasser. Der er præcis 50 falske projektive planer op til isometri, og derfor 100 forskellige falske projektive planer op til biholomorfisme.

Grundgruppen i det falske projektive plan er en aritmetisk undergruppe af gruppen PU(2,1). Vi vil med k betegne det tilhørende talfelt (helt reelt) og med G den tilhørende k -form af gruppen PU(2,1). Hvis l er en kvadratisk forlængelse af et felt k , over hvilket G er en indre form, så er l et fuldstændig imaginært felt. Der er en divisionsalgebra D med centrum l og grad over l 3 eller 1, med en involution af den anden art, der er begrænset til en ikke-triviel automorfi l over k , og en ikke-trivial hermitisk form på et modul over D af dimension 1 eller 3 sådan at G er en særlig enhedsgruppe denne hermitiske form. (Som en konsekvens af Prasads og Yens [5] og Cartwrights og Staegers arbejde har D grad 3 over l , og modulet har dimension 1 over D. ) Der er ét reelt sted i feltet k , således at punkter på formen G danner en kopi af gruppen PU (2.1), de danner en kompakt gruppe PU(3) over alle andre reelle steder i feltet k .

Det følger af et resultat af Prasad og Yen [5] , at automorfigruppen i det falske projektive plan enten er en cyklisk gruppe af orden 1, 3 eller 7, eller en ikke-cyklisk gruppe af orden 9, eller en ikke-abelsk gruppe. gruppe af orden 21. Faktorerne for falske projektive fly over disse grupper blev undersøgt af Kim [13] , Cartwright og Staeger [7] .

Liste over 50 falske projektive fly

k	l	T	Indeks	Falske projektive planer
Q	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-1)))$	5	3	3 falske fly i 3 klasser
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-2)))$	3	3	3 falske fly i 3 klasser
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7)))$	2	21	7 falske fly i 2 klasser. En af disse klasser indeholder eksempler fra Mumford og Kim.
		2, 3	3	4 falske fly i 2 klasser
		2.5	en	2 falske fly i 2 klasser
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-15)))$	2	3	10 falske fly i 4 klasser, inklusive eksempler fundet af Ishida og Kato.
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-23)))$	2	en	2 falske fly i 2 klasser
$\mathrm {Q} ({\sqrt {2}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7+4{\sqrt {2))))}$	2	3	2 falske fly i 2 klasser
$\mathrm {Q} ({\sqrt {5}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {5)),\zeta _{3})$	2	9	7 falske fly i 2 klasser
$\mathrm {Q} ({\sqrt {6}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {6)),\zeta _{3})$	2 eller 2.3	1 eller 3 eller 9	5 falske fly i 3 klasser
$\mathrm {Q} ({\sqrt {7}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {7)),\zeta _{4})$	2 eller 3.3	21 eller 3.3	5 falske fly i 3 klasser

k er et helt rigtigt felt.
l er den fuldt imaginære kvadratiske forlængelse af feltet k , og ζ 3 er terningroden af 1.
T er sættet af primtal i feltet k , hvor en lokal undergruppe ikke er hypersfærisk.
indekset er indekset for den fundamentale gruppe i en eller anden aritmetisk gruppe.

Litteratur

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Opregning af de 50 falske projektive fly // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . — S. 11–13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Masa-Nori Ishida, Fumiharu Kato. The strong rigidity theorem for non-archimedean uniformization // The Tohoku Mathematical Journal. anden serie. - 1998. - T. 50 , no. 4 . — S. 537–555 . - doi : 10.2748/tmj/1178224897 .
jonghae keum. Et falsk projektivt plan med en orden 7 automorfi // Topologi. et International Journal of Mathematics . - 2006. - T. 45 , no. 5 . — S. 919–927 . - doi : 10.1016/j.top.2006.06.006 .
jonghae keum. Kvotienter af falske projektive planer // Geometri & Topologi. - 2008. - T. 12 , no. 4 . — S. 2497–2515 . - doi : 10.2140/gt.2008.12.2497 . - arXiv : 0802.3435 .
Bruno Klingler. Sur la rigidité de certains groupes fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux plans projectifs // Inventiones Mathematicae . - 2003. - T. 153 , no. 1 . — S. 105–143 . - doi : 10.1007/s00222-002-0283-2 .
Kulikov V.S., Kharlamov. V. M., Om rigtige strukturer på stive overflader , Izv. RAS .. - 2002. - T. 66 , no. 1 . — S. 133–152 .
David Mumford . En algebraisk overflade med K ample, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101 , no. 1 . — S. 233–244 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad. Mængder af S-aritmetiske kvotienter af semi-simple grupper // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1989. - Udgave. 69 . — s. 91–117 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Falske projektive planer // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , no. 2 . — S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Tillæg til "Falske projektive planer" // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , no. 1 . — S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Remy R. Covolume des groupes S-arith meiques et faux plans projectifs, (d'apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) // —. - 2007. - T. 984 . Arkiveret fra originalen den 9. juni 2011.
Ira H. Shavel. En klasse af algebraiske overflader af generel type konstrueret ud fra quaternion algebraer // Pacific Journal of Mathematics . - 1978. - T. 76 , no. 1 . — S. 221–245 . - doi : 10.2140/pjm.1978.76.221 .
Shing Tung Yau. Calabis formodning og nogle nye resultater inden for algebraisk geometri // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - National Academy of Sciences, 1977. - V. 74 , no. 5 . - S. 1798-1799 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. På Ricci-krumningen af en kompakt Kähler-manifold og den komplekse Monge-Ampère-ligning. I // Meddelelser om ren og anvendt matematik . - 1978. - T. 31 , no. 3 . — S. 339–411 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .
Sai Kee Yeung. Integritet og aritmeticitet af co-compact gitter svarende til komplekse visse to-ball kvotienter af Picard nummer et // The Asian Journal of Mathematics. - 2004. - T. 8 , no. 1 . — s. 107–129 . - doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9 .
Sai Kee Yeung. Klassifikation af falske projektive planer // Håndbog i geometrisk analyse, nr. 2 . — Int. Press, Somerville, MA, 2010, bind 13, s. 391-431. - (Adv. Lect. Math. (ALM)).