Lagrange ligninger af anden art

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. april 2016; checks kræver 16 redigeringer .

Lagrange-ligningerne af den anden slags er differentialligninger for bevægelse af et mekanisk system , opnået ved at anvende den lagrangske formalisme .

Slags ligninger

Hvis et holonomisk mekanisk system er beskrevet af en Lagrangian ( er generaliserede koordinater , t er tid , prikken angiver differentiering med hensyn til tid) og kun potentielle kræfter virker i systemet , så har Lagrange-ligningerne af den anden art formen $L(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $q_{i}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0

hvor i = 1, 2, … n ( n er antallet af frihedsgrader for det mekaniske system). Lagrangian er forskellen mellem systemets kinetiske og potentielle energier.

I nærvær af både potentielle ( ) og ikke-potentielle ( ) generaliserede kræfter vises højre side: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}

Ikke-potentielle kræfter omfatter for eksempel friktionskraft . I dette tilfælde kan Lagrange-ligningerne af den anden slags omskrives i en lidt anden form:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

hvor er systemets kinetiske energi , er den generaliserede kraft . $T(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Udledning af ligninger

Lagranges ligninger i mekanik er hentet fra Eulers love for dynamik (balance mellem momentum og vinkelmomentum) under visse begrænsninger på systemet: kun ideelle holonomiske begrænsninger skal være til stede i det. Dette er et særligt, omend meget vigtigt, tilfælde af mekaniske systemer. For andre tilfælde opnås modifikationer af Lagrange-ligningerne [1] .

Hvis princippet om mindste handling er relevant for det pågældende system (langt fra alle fysiske systemer adlyder det), kan konklusionen drages anderledes. I Lagrangiansk mekanik udføres udledningen af ligninger på grundlag af dette princip, som siger, at reelle bevægelser adskilles fra alle tænkelige ved den betingelse, at den funktionelle

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\dot q}_{i},t)dt

kaldet handling , tager en ekstrem (for tilstrækkelig lille - minimal) værdi på banen for systemets faktiske bevægelse ( og - de indledende og sidste øjeblikke af tiden ) [2] . Ved at anvende standardoptimeringsskemaet på handlingsfunktionen får vi Lagrange-Euler-ligningerne til den , som kaldes Lagrange-ligningerne af den anden slags for et mekanisk system. Nedenfor er udledningen af ligningen for et system med én generaliseret koordinat og hastighed. $t_{2}-t_{1}$ $t_{1}$ ${\displaystyle t_{2))$

Vi antager, at variationen ved grænserne er nul:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Ændre handling ved overgang fra stat til ja $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\dot q}+\delta {\dot q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Udvider vi denne forskel i beføjelser, får vi:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Ved at variere dette udtryk får vi:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\venstre({\frac {\partial L}{\partial q))\delta q+{\frac {\partial L}{\ partiel {\dot q))}\delta {\dot q}\right)dt=0

Bemærk , at vi integrerer det andet led efter dele: $\delta {\dot q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\venstre({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

Det første led er lig med nul baseret på den allerførste afledningsformel. Det andet led kan kun være lig nul, hvis integranden er lig nul. Således får vi den ønskede Lagrange-ligning:

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0

Se også

Lagrange ligninger af den første slags

Noter

↑ Butenin B.V. Introduktion til analytisk mekanik. - M .: Nauka, 1971. - Oplag 25.000 eksemplarer. — s. 56 - 59
↑ Medvedev B.V. Begyndelsen af teoretisk fysik. Mekanik, feltteori, elementer af kvantemekanik. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Oplag 2.000 eksemplarer. — S. 19 - 23