Sine-Gordon ligning

Sinus - Gordon-ligningen er en ikke-lineær hyperbolsk partiel differentialligning i 1 + 1 dimensioner, inklusive d'Alembert-operatoren og sinus for en ukendt funktion. Oprindeligt blev det overvejet i det 19. århundrede i forbindelse med undersøgelsen af overflader med konstant negativ krumning . Denne ligning fik stor opmærksomhed i 1970'erne på grund af dens soliton- løsninger.

Oprindelse af ligningen og dens navn

Der er to ækvivalente former for sinus-Gordon-ligningen. I ( reale ) rum-tid-koordinater, betegnet ( x , t ), er ligningen

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

Ved overgang til lyskeglekoordinater ( u , v ) tæt på de asymptotiske koordinater , hvor

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

ligningen bliver

\varphi _{uv}=\sin \varphi .

Dette er den oprindelige form for sinus-Gordon-ligningen, hvor den blev betragtet i det 19. århundrede i forbindelse med studiet af overflader med konstant Gauss-krumning K = −1, også kaldet pseudosfærer . Vi vælger et koordinatsystem, hvor koordinatgitteret u = const, v = const er givet af asymptotiske linjer parametriseret af buelængden. Den første kvadratiske form af den givne overflade i sådanne koordinater har en speciel form:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},

hvor φ er vinklen mellem de asymptotiske linjer, og for den anden andengradsform , L = N = 0. Så fører Peterson-Codazzi-ligningen , der afspejler kompatibilitetsbetingelsen mellem den første og anden andengradsform, til sinus-Gordon-ligningen. Studiet af denne ligning og de tilsvarende pseudosfæretransformationer i det 19. århundrede af Bianchi og Bäcklund førte til opdagelsen af Bäcklunds transformationer .

Navnet "sine-Gordon-ligning" er et ordspil på den velkendte Klein-Gordon-ligning i fysik :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

Sinus-Gordon- ligningen er Euler-Lagrange-ligningen for Lagrangian

{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .

Brug af Taylor-seriens udvidelse af cosinus

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

i en given Lagrangian kan det skrives som Klein-Gordon Lagrangian plus højere ordens udtryk

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Solitoner

En interessant egenskab ved sinus-Gordon-ligningen er eksistensen af soliton- og multisoliton-løsninger.

One-soliton løsning

Sinus-Gordon-ligningen har følgende en-soliton-løsninger:

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },

hvor

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

One-soliton-løsningen, som vi har valgt en positiv rod for , kaldes et knæk og repræsenterer en løkke over variablen , som tager en løsning til en tilstødende . Tilstandene er kendt som vakuumtilstande , da de er konstante nul-energiløsninger. Den en-soliton løsning, som vi har slået negativ rod til , kaldes antikinket . Formen af en-soliton-løsninger kan opnås ved at anvende Bäcklund-transformationen til den trivielle (konstant vakuum) opløsning og integrere de resulterende førsteordens differentialligninger: $\gamma$ $\varphi$ $\varphi=0$ $\varphi=2\pi$ $\varphi =0{\pmod {2\pi ))$ $\gamma$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2)),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi}{2)),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

One-soliton-løsninger kan visualiseres ved hjælp af sinus-gordon elastikbåndsmodellen [1] . Lad os tage en spole med uret ( venstrehåndet ) af et elastikbånd som et knæk med en topologisk ladning . En alternativ drejning mod uret ( højrehåndet ) med en topologisk ladning ville være en antikink. $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$

To-soliton løsninger

Multi-soliton-opløsninger kan opnås ved kontinuerligt at anvende Bäcklund-transformationen på én-soliton-opløsningen som foreskrevet af Bianchi-gitteret svarende til resultaterne af transformationen [2] . 2-soliton-løsninger af sinus-Gordon-ligningen udviser nogle karakteristiske egenskaber for solitoner. Rejsende sine-Gordon kinks og/eller antikinks passerer gennem hinanden som fuldstændig permeable, og den eneste observerede effekt er et faseskift . Da kolliderende solitoner bevarer deres hastighed og form , kaldes denne form for interaktion elastisk kollision .

Andre interessante to-soliton-løsninger opstår fra muligheden for koblet kink-anti-kink-adfærd kendt som en åndedræt . Der kendes tre typer udluftninger: en stående udluftning , en løbende udluftning med høj amplitude og en løbende udluftning med lav amplitude [3] .

Tre-soliton løsninger

Tre-soliton-kollisioner mellem et gående knæk og et stående åndedræt eller et rejsende antikink og et stående åndedræt resulterer i en faseforskydning af den stående ånde. Under en kollision mellem et bevægeligt knæk og et stående åndedræt, er forskydningen af sidstnævnte givet af relationen $\Delta _{\textrm {B}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatørnavn {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega ^{2))))),

hvor er knækhastigheden, og er udåndingsfrekvensen [3] . Hvis koordinaten for den stående åndedræt før kollisionen er , så bliver den efter kollisionen . $v_{{\text{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Relaterede ligninger

Shinus-Gordon ligning :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Dette er Euler-Lagrange-ligningerne for Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

En anden tæt beslægtet med sinus-Gordon-ligningen er den elliptiske sinus-Gordon-ligning :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,

hvor er en funktion af variablene x og y . Dette er ikke længere en soliton-ligning, men den har mange lignende egenskaber, da den er relateret til sinus-Gordon-ligningen ved den analytiske fortsættelse (eller Wick-rotation ) y = it . $\varphi$

Den elliptiske shinus-Gordon-ligning kan defineres på lignende måde. En generalisering er givet af Toda-feltteorien .

Kvanteversion

I kvantefeltteorien indeholder sinus-Gordon modellen en parameter, der kan identificeres med Plancks konstant. Partikelspektret består af en soliton, en antisoliton og et endeligt (eventuelt nul) antal vejrtrækninger. Antallet af vejrtrækninger afhænger af denne parameter. Flere fødsler af partikler ophæver bevægelsesligningerne.

Den semiklassiske kvantisering af sinus-Gordon-modellen blev udført af Ludwig Faddeev og Vladimir Korepin [4] . Den nøjagtige kvantespredningsmatrix blev opdaget af Alexander og Alexei Zamolodchikov [5] . Denne model er dobbelt med Thirring-modellen .

I et begrænset volumen og på en stråle

Overvej også sinus-Gordon-modellen på en cirkel, et lige linjestykke eller en stråle. Det er muligt at vælge randbetingelser, der bevarer integrerbarheden af den givne model. På strålen indeholder spektret af partikler grænsetilstande foruden solitoner og åndedrætter.

Supersymmetrisk sinus-Gordon-model

Der findes også en supersymmetrisk analog af sinus-Gordon-modellen. Med samme succes kan der findes integrerbarhedsbevarende randbetingelser for det.

Noter

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitons og ikke-lineære bølgeligninger . Academic Press, London, 1982.
↑ Rogers C., Schief W.K. Bäcklund og Darboux Transformations . New York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Arkiveret 22. august 2010 på Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Kvanteteori om solitoner (engelsk) // Physics Reports. - 1978. - Bd. 42 , udg. 1 . - S. 1-87 . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Faktoriserede S -matricer i to dimensioner som de nøjagtige løsninger af visse relativistiske kvantefeltteorimodeller // Annaler af fysik. — 1979-08-01. — Bd. 120 , iss. 2 . - S. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .