Hamilton-Jacobi ligning

I fysik og matematik er Hamilton - Jacobi-ligningen en ligning af formen

H\left(q_{1},\dots,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1))},\dots,{\frac {\partial S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Her betegner S den klassiske handling , er den klassiske Hamiltonian , og er generaliserede koordinater. $H(q_{1},\dots,q_{n};p_{1},\dots,p_{n};t)$ $q_{i}$

Direkte relateret til klassisk (ikke-kvante)mekanik er den dog velegnet til at etablere en forbindelse mellem klassisk mekanik og kvantemekanik , da den for eksempel kan fås næsten direkte fra Schrödinger-ligningen i tilnærmelsen af en hurtigt oscillerende bølgefunktion (store frekvenser og bølgetal).

I klassisk mekanik opstår det normalt fra en særlig kanonisk transformation af den klassiske Hamiltonian , som fører til denne ikke-lineære førsteordens differentialligning , hvis løsning beskriver opførselen af et dynamisk system.

Hamilton-Jacobi-ligningen bør skelnes fra Hamiltons og Euler-Lagrange 's bevægelsesligninger . Selvom denne ligning er afledt af dem, er det en enkelt ligning, der beskriver dynamikken i et mekanisk system med et hvilket som helst antal frihedsgrader s , i modsætning til 2 s Hamilton-ligningerne og s Euler-Lagrange-ligningerne.

Hamilton-Jacobi-ligningen hjælper med at løse Kepler-problemet elegant .

Kanonisk konvertering

Hamilton-Jacobi-ligningen følger umiddelbart af den kendsgerning, at for enhver genererende funktion (forsømmer indeksene) antager bevægelsesligningerne den samme form for og under følgende transformation: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\partial S}{\partial t)).

De nye bevægelsesligninger bliver

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

Hamilton-Jacobi-ligningen udspringer af en specifik genererende funktion S , der gør Hʹ identisk med nul. I dette tilfælde forsvinder alle dens derivater, og

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

I et primet koordinatsystem er systemet således perfekt stationært i faserummet . Vi har dog endnu ikke fastlagt ved hvilken genererende funktion S transformationen til det primede koordinatsystem opnås. Vi bruger det faktum, at

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Da ligning (1) giver , kan vi skrive $p=\partial S/\partial q,$

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

som er Hamilton-Jacobi-ligningen.

Løsning

Hamilton-Jacobi-ligningen løses ofte ved adskillelse af variabler . Lad nogle koordinater (for bestemthed vil vi tale om ) og det momentum, der svarer til det, indtaste ligningen i formen $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1)) }\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2))},\dots,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.

Så kan du sætte

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

hvor er en vilkårlig konstant, er den inverse funktion, og løs Hamilton-Jacobi-ligningen med færre variable. Hvis processen kan fortsættes i alle variabler, vil løsningen af ligningen tage formen $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

hvor er vilkårlige konstanter, er integrationskonstanten. Husk, at i dette tilfælde er en funktion af slutpunktet . Da handlingen definerer den kanoniske transformation af det Hamiltonske system, er dets derivater med hensyn til koordinater momenta i det nye koordinatsystem, så de skal bevares: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i))}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{ n},t).

Sammen med momentumligningerne bestemmer dette systemets bevægelse.

Også, hvis i et holonomisk system med frihedsgrader , har har formenden potentielle energiogformen,energikinetiskeden [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Se også

Noter

↑ Butenin, 1971 , s. 167.

Litteratur

Artikel i Physical Encyclopedia
Gantmakher F. R. Forelæsninger om analytisk mekanik . 2. udgave - M . : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Fundamentals of Analytical Mechanics . - M .: Højere skole, 1976.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mekanik. - 5. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — (“Teoretisk fysik”, bind I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Mekanikkens variationsprincipper . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW Classical Mechanics . - M .: Udenlandsk. litteratur, 1961.
Pavlenko Yu. G. Forelæsninger om teoretisk mekanik. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 s.
Pars L. A. Analytisk dynamik . — M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Introduktion til analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 s.