Enhedsmatrix

En enhedsmatrix er en kvadratisk matrix med komplekse elementer, hvis resultat multiplikation med det hermitiske konjugat er lig med identitetsmatrixen : . Med andre ord er en matrix ensartet, hvis og kun hvis der eksisterer en matrix omvendt til den, der opfylder betingelsen . $U^{\dolk }U=UU^{\dolk }=I$ $U^{{-1}}=U^{\dolk }$

Enhedsmatricer generaliserer begrebet ortogonale matricer , hvis elementer kun er reelle tal, til matricer med komplekse tal.

Følgende udsagn om en given kvadratmatrix er ækvivalente: $EN$

$EN$ - enhed.
$A^{\dolk }$ - enhed.
Matrixens søjler danner en ortonormal basis i et enhedsrum . $EN$
Rækkerne af en matrix danner en ortonormal basis i et enhedsrum . $EN$

Fortolkning

En enhedsmatrix repræsenterer en transformation, der transformerer en ortonormal basis af et komplekst vektorrum af dimension svarende til dets størrelse til en ortonormal basis. (Dette gælder for enhver ortonormal basis).

Dette svarer til at sige, at transformationen repræsenteret af en enhedsmatrix bevarer det indre produkt (og derfor længden af alle vektorer).

Egenskaber

Hver enhedsmatrix er normal .
Produktet af enhedsmatricer er også en enhedsmatrix.
For enhver enhedsmatrix eksisterer der en enhedsmatrix, som er diagonal . $U$ $V$ $V^{*}UV$
Sættet af alle enhedsmatricer af orden med hensyn til multiplikation danner en enhedsgruppe , den (algebraiske) Lie-gruppe over feltet af reelle tal. $n$ $U(n)$

Hvis determinanten for en enhedsmatrix er lig med én, kaldes den en speciel enhedsmatrix . Modulet for determinanten af en enhedsmatrix er altid 1. $EN$

Mættet af alle specielle enhedsmatricer af orden ved multiplikation danner en speciel enhedsgruppe . Grupperne og spiller en vigtig rolle i præsentationen af kvantemekanik og elementær partikelfysik . $n$ $Sol)$ $SU(2)$ $SU(3)$

Se også

Litteratur

Enhedsmatrix // Uzhi - Fidel. - M .: Soviet Encyclopedia, 1956. - S. 242. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 51 bind] / chefredaktør B. A. Vvedensky ; 1949-1958, v. 44).