Triviel topologi
Den trivielle topologi i den generelle topologi er topologien, der kun består af hele rummet og det tomme sæt . Det er dog mere logisk at kalde denne topologi antidiskret, da både diskrete og antidiskrete topologier begge er ret trivielle i ordets generelle sproglige betydning.
Definition
Lad være et vilkårligt sæt . Familien af delmængder , hvor angiver det tomme sæt , er topologien . Denne topologi kaldes triviel, antidiskret eller sticky points topologi . Parret kaldes et trivielt (ellers: antidiskret) topologisk rum .
Bemærk
Hvis sættet indeholder mere end ét punkt, er de alle topologisk ude af skel, da de er indeholdt i et enkelt kvarter .
Egenskaber
- De eneste lukkede sæt i et antidiskret topologisk rum er og
- Den antidiskrete topologi har en unik base :
- Et antidiskret topologisk rum opfylder ikke de fleste adskillelsesaksiomer . Især er den ikke Hausdorff og derfor ikke målbar . Imidlertid opfylder det antidiskrete topologiske rum aksiomerne T 3 , T 31 , T 4 på grund af fraværet i det af de objekter, for hvilke det er nødvendigt at kontrollere aksiomernes betingelser. Det er derfor, definitionerne af regulære, fuldstændigt regulære og normale topologiske rum er underlagt kravet om at tilfredsstille endnu et aksiom for adskillelighed: aksiomet T 1 .
- Et antidiskret topologisk rum er kompakt og parakompakt .
- Enhver række af punkter fra konvergerer til ethvert punkt fra samme rum. Især er et antidiskret topologisk rum sekventielt kompakt .
- Det indre af en vilkårlig korrekt delmængde er tom.
- Lukningen af en vilkårlig ikke-tom delmængde falder sammen med . Især er enhver delmængde af et antidiskret topologisk rum overalt tæt ind
- To antidiskrete topologiske rum er homøomorfe , hvis og kun hvis de har samme kardinalitet .
