En toroidal polytop er en polytop , der også er en torus ( en torus med g huller), der har topologisk slægt , g , lig med eller større end 1.
Toroidale polyedre er defineret som et sæt polygoner , der deler spidser og kanter og danner en manifold . Det vil sige, at hver kant skal være fælles for præcis to polygoner, toppunktet for hvert toppunkt skal være en cyklus af de polygoner, som det givne toppunkt tilhører. For toroidale polyedre vil denne manifold være en orienteret overflade [1] . Nogle forfattere begrænser begrebet "toroidal polyhedron" til polytoper, der er topologisk ækvivalente (af slægt 1) torus [2] .
Her er det nødvendigt at skelne mellem indlejrede toroidale polyedre, hvis ansigter er flade polygoner, der ikke skærer hinanden i det tredimensionelle euklidiske rum , fra abstrakte polyedre , topologiske overflader uden en specifik geometrisk realisering [3] . Midtpunktet mellem disse to yderpunkter kan betragtes som nedsænkede toroidale polyedre, det vil sige polyedre dannet af polygoner eller stjernepolygoner i det euklidiske rum, der får lov til at skære hinanden.
I alle disse tilfælde kan den toroidale karakter af polyedre verificeres ved orientering og Euler-karakteristikken, hvilket ikke er positivt for disse polyedre.
De to enklest mulige indlejrede toroidale polyedre er Chasar og Silashi polyedre.
Chasar polyhedron er et toroidformet polyeder med syv hjørner, 21 kanter og 14 trekantede flader [4] . Kun dette polyeder og tetraederet (af de kendte) har den egenskab, at ethvert segment, der forbinder polyederens hjørner, er en kant af polyederet [5] . Den dobbelte polytop er Silashi-polytopen , som har 7 sekskantede flader, som hvert par støder op til hinanden [6] , hvilket giver halvdelen af sætningen om, at den maksimale værdi af farver til farvning af et kort på en torus (slægt 1) er syv [7] .
Chasar-polytopen har det mindst mulige antal hjørner, som en indlejret toroidformet polytop kan have, og Silashi-polytopen har det mindst mulige antal flader.
| Seks sekskantede prismer | Fire firkantede kupler 8 tetraedre |
Otte oktaedre |
En særlig kategori af toroidale polyedre er konstrueret udelukkende af regulære polygonale flader uden deres skæring, med den yderligere begrænsning, at tilstødende flader ikke ligger i samme plan. Disse polytoper kaldes Stewart toroider [8] efter professor Bonnie Stewart , som undersøgte deres eksistens [9] . De er analoge med Johnson solids i tilfælde af konvekse polyedre , men i modsætning til dem er der uendeligt mange Stewart toroider [10] . Disse polyedre omfatter også toroidale deltaedre , polyedre, hvis ansigter er ligesidede trekanter.
En begrænset klasse af Stewart toroider, også defineret af Stewart, er kvasi-konvekse toroidale polyedre . Disse er Stewart toroider, som omfatter alle kanterne af deres konvekse skrog . For disse polyedre ligger hver side af det konvekse skrog enten på overfladen af toroid eller er en polygon, hvis kanter ligger på overfladen af toroid [11] .
Octahemioctahedron |
Lille cuboctahedron |
Stort dodekaeder |
Et polyeder dannet af et system af krydsende polygoner i rummet er en polyhedral nedsænkning af en abstrakt topologisk manifold dannet af dens polygoner og dens system af kanter og hjørner. Eksempler inkluderer octahemioctahedron (slægt 1), den lille cuboctahedron (slægt 3) og den store dodecahedron (slægt 4).
Et kronet polyeder (eller stephanoid ) er et toroidformet polyeder, der er et ædelt polyeder, der både er isogonalt (samme typer hjørner) og isohedralt (samme flader). Det kronede polyeder er selvskærende og topologisk selv-dual [12] .