Topologisk kvantetal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. marts 2013; checks kræver 3 redigeringer .

I fysik er et topologisk kvantetal (også kaldet en topologisk ladning ) enhver størrelse i fysisk teori, der kun antager et diskret sæt værdier på grund af topologiske overvejelser. Normalt er topologiske kvantetal topologiske invarianter , forbundet med topologiske soliton -type løsninger af nogle system af differentialligninger, der modellerer et fysisk system, da solitoner selv skylder deres stabilitet til topologiske overvejelser. Det specielle navn "topologiske overvejelser" følger normalt af, at en fundamental gruppe eller højere-dimensionel homotopigruppe optræder i problembeskrivelsen, ofte nok fordi den grænse, som grænsebetingelserne er pålagt, har en ikke-trivial homotopigruppe fastsat ved differentialligninger . Det topologiske kvantetal af en løsning kaldes undertiden antallet af drejninger , eller mere strengt graden af ​​kontinuerlig kortlægning .

Nylige tanker om arten af ​​faseovergange indikerer, at topologiske kvantetal og deres tilhørende solitoner kan skabes eller ødelægges under en faseovergang.

Partikelfysik

I partikelfysik er et eksempel skyrmion , hvor baryontallet  er det topologiske kvantetal. Indledningsvis er det faktum, at isospin er modelleret af SU(2) , som er isomorf til en 3-sfære . Tager vi et rigtigt tredimensionelt rum og lukker det med et punkt på uendelig, får vi også en 3-sfære. Løsninger til Skyrme-ligningen i virkeligt tredimensionelt rum kortlægger et punkt i det "virkelige" (fysiske, euklidiske) rum til et punkt i SU(2) 3-manifolden. Topologisk forskellige løsninger "vikler" en sfære omkring en anden, så ingen løsning, uanset hvordan den er blevet modificeret, kan "folde sig ud" uden at forårsage et brud i opløsningen. I fysik er sådanne diskontinuiteter forbundet med energiens uendelighed og er derfor forbudte.

I ovenstående eksempel er det topologiske udsagn, at den 3. homotopigruppe i 3-sfæren: og så kan baryontallet kun tage heltalsværdier.

Disse ideer finder deres generalisering i Wess-Zumino-Novikov-Witten-modellen .

Præcis opløselige modeller

Yderligere eksempler kan findes inden for feltet med nøjagtigt løselige modeller , såsom sinus-Gordon- ligningen , Korteweg-de Vries- ligningen og Ishimori-ligningen . Den 1-dimensionelle sinus-Gordon-ligning er skrevet for et ekstremt simpelt eksempel, da den fundamentale gruppes rolle spilles, og dermed er det i virkeligheden antallet af omdrejninger : en cirkel kan vikles rundt om en cirkel et helt antal gange.

Faststoffysik

I faststoffysik kan typer af krystallinske dislokationer , såsom skruedislokationer , beskrives ved topologiske solitoner. Et eksempel, der involverer skrueforskydninger, er forbundet med germanium whiskers .

Links