Parallelogram identitet

Parallelogramidentiteten er en af lighederne i vektoralgebra og vektoranalyse .

I euklidisk geometri

Summen af kvadraterne af længderne af siderne af et parallelogram er lig med summen af kvadraterne af længderne af dets diagonaler .

\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2 }.

I rum med indre produkt

I vektorrum med indre produkt ser denne identitet sådan ud [1] :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2},

hvor

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

I normerede rum (polarisationsidentitet)

I et normeret rum ( V , ), som parallelogramidentiteten gælder for, kan man indføre et indre produkt, der genererer denne norm, altså sådan at alle vektorer i rummet . Denne teorem tilskrives Fréchet , von Neumann og Jordan [2] [3] . Dette kan gøres på følgende måde: $\|\cdot \|$ $\langle x,\ y\rangle$ $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ $x$ $V$

for rigtig plads $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4},$ eller eller ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 2}.$
til komplekse rum $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2 }-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Ovenstående formler, der udtrykker prikproduktet af to vektorer i form af normen, kaldes polarisationsidentiteten .

Det er klart, at normen udtrykt i form af ethvert skalært produkt som følger vil tilfredsstille denne identitet. $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$

Polarisationsidentiteten bruges ofte til at omdanne Banach-rum til Hilbert-rum .

Generalisering

Hvis B er en symmetrisk bilineær form i vektorrum, og den kvadratiske form Q er udtrykt som

\ Q(v)=B(v,v)

derefter

{\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(uv),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u )-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(uv).\end{array}}

Se også

Eulers firsidede sætning er en generalisering af identiteten til tilfældet med vilkårlige firkanter.

Noter

↑ Shilov, 1961 , s. 185.
↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Matematiske metoder i fysik: fordelinger, Hilbert-rumoperatorer og variationsmetoder (engelsk) . — Birkhauser, 2003. - S. 192. - ISBN 0817642285 . Arkiveret 19. august 2017 på Wayback Machine
↑ Gerald Teschl. Sætning 0.19 (Jordan–von Neumann) // Matematiske metoder i kvantemekanik: med anvendelser til Schrödinger-operatorer (engelsk) . - American Mathematical Society Bookstore, 2009. - S. 19. - ISBN 0-8218-4660-4 . Arkiveret 6. maj 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Shilov G. E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.