Eulers firsidede sætning

Eulers firkantede sætning ( også Eulers lov for firkanter ) er en plangeometrisætning opkaldt efter Leonhard Euler (1707-1783), der beskriver forholdet mellem siderne af en konveks firkant og dens diagonaler. Sætningen er en generalisering af parallelogrammets identitet , der igen kan ses som en generalisering af Pythagoras sætning ; derfor bruges navnet Euler-Pythagorean sætning nogle gange .

Sætning og særlige tilfælde

For en konveks firkant med sider og diagonaler og , hvis midtpunkter er forbundet med et segment , er ligheden sand: $a,b,c,d$ $e$ $f$ $g$

-en 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + fire g 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2))

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2))

Hvis firkanten er et parallelogram , så falder diagonalernes midtpunkter sammen, og segmentet, der forbinder dem, har en længde lig med 0. Derudover er længderne af de parallelle sider af et parallelogram ens, så i dette tilfælde reduceres Eulers sætning til formel: $g$

2 -en 2 + 2 b 2 = e 2 + f 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2))

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2))

som kaldes parallelogramidentiteten .

Hvis firkanten er et rektangel , så er ligheden endnu mere forenklet, da de to diagonaler nu er ens:

2 -en 2 + 2 b 2 = 2 e 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2))

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2))

At dividere med 2 giver Euler-Pythagorean-sætningen:

-en 2 + b 2 = e 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}

a^{2}+b^{2}=e^{2}

Med andre ord: for et rektangel er forholdet mellem siderne af en firkant og dens diagonaler beskrevet af Pythagoras sætning [1] .

Alternative formuleringer og udvidelser

Euler udledte ovenstående sætning som en konsekvens af en anden sætning, som på den ene side er mindre elegant, da den kræver tilføjelse af et punkt mere, men på den anden side giver en større forståelse af firkantens egenskaber .

For en given konveks firkant introducerede Euler et ekstra punkt , sådan at det danner et parallelogram; så gælder følgende ligestilling: $ABCD$ $E$ $ABED$

| EN B | 2 + | B C | 2 + | C D | 2 + | EN D | 2 = | EN C | 2 + | B D | 2 + | C E | 2 {\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2} +|CE|^{2}}

|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2} +|CE|^{2}

Afstanden mellem det ekstra punkt og punktet på firkanten svarer til et segment, der ikke er en del af parallelogrammet. Længden af dette segment kan betragtes som et mål for forskellen mellem den betragtede firkant og et parallelogram, eller med andre ord, som et mål for rigtigheden af et led i den oprindelige lighed af parallelogramidentiteten [2] . $|CE|$ $E$ $C$ $|CE|^{2}$

Da punktet er midtpunktet af segmentet , får vi . Punktet er segmentets midtpunkt , og det er også segmentets midtpunkt , da og er parallelogrammets diagonaler . Herfra får vi , og derfor . Det følger af Thales-sætningen (og omvendt), at og er parallelle. Så , hvorfra følger Eulers sætning [2] . $M$ $AC$ ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$ $N$ $BD$ $AE$ $AE$ $BD$ $ABED$ ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$ ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$ $CE$ $NM$ $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$

Eulers sætning kan udvides til et sæt af firkanter, som inkluderer krydsende og ikke- plane firkanter . Det udføres for de såkaldte generaliserede firkanter , som består af fire vilkårlige punkter i rummet , forbundet med kanter for at danne en grafcyklus [3] . $\mathbb {R} ^{n}$

Noter

↑ Debnath, 2010 , s. 105-107.
↑ 1 2 Haunsperger, Kennedy, 2006 , s. 137-139.
↑ Kandall, 2002 , s. 403-404.

Litteratur

Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Fejring af ti år med matematikhorisonter . - MAA, 2006. - S. 137-139. — ISBN 9780883855553 .
Lokenath Debnath. The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute . — World Scientific, 2010. — S. 105–107. — ISBN 9781848165267 .
C. Edward Sandifer. Hvordan Euler gjorde det . - MAA, 2007. - S. 33-36. — ISBN 9780883855638 .
Geoffrey A. Kandall. Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals // The College Mathematics Journal. - 2002. - November ( bind 33 , nr. 5 ). — S. 403–404 .
Dietmar Hermann. Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen . - Springer, 2013. - S. 418. - ISBN 9783642376122 .

Eulers firsidede sætning

Sætning og særlige tilfælde

Alternative formuleringer og udvidelser

Noter

Litteratur

Links