Sum-produkt teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. april 2020; checks kræver 25 redigeringer .

Sum-produktsætningen er en sætning om aritmetisk kombinatorik , der fastslår ustruktureringen af enhver tilstrækkelig stor mængde med hensyn til mindst én af feltoperationerne (addition og multiplikation). Som indikator for strukturering anvendes størrelserne af henholdsvis mængdesættet og produktsættet.

Ordlyd

Lade være en delmængde af nogle ring (normalt et felt , men formelt kan en ring også overvejes) med operationer og . To derivater af sættet betragtes: $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ $+$ $\cdot$ $EN$

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Hvis sættet er struktureret med hensyn til addition (det har f.eks. mange aritmetiske forløb, eller generaliserede aritmetiske forløb, eller deres store brikker), så vil mængden være relativt lille - når alt kommer til alt, vil summen af mange elementpar falde sammen . $EN$ $A+A$

Hvis det er struktureret med hensyn til multiplikation, vil mængden ikke være særlig stor af lignende årsager. $EN$ $A\time A$

Sætningen siger, at mindst en af mængderne og er meget stor med hensyn til , det vil sige med hensyn til mindst en af operationerne, vil strukturen være uregelmæssig. $A+A$ $A\time A$ $EN$

Mere specifikt etablerer sætningen en vækst i kraftloven i størrelsen af det største af de afledte sæt i forhold til størrelsen af originalen:

Sætning

For en konstant og en vilkårlig mængde (for en endelig , med begrænsninger på størrelsen), er det rigtigt, at $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\ gange A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }

For forskellige ringe er det muligt at få overslag med forskellige . For nogle (især for endelige ) ringe er det også muligt at tilføje betingelser for størrelsen af det sæt , som sætningen gælder for den givne . $\delta$ $EN$ $\delta$

Kantsager

Det mest bekvemme at studere er de ekstreme tilfælde af hypotesen:

få summer, mange produkter (FSMP) : hvis så [1] $|A+A|\ll |A|$ ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)))$

få produkter, mange summer (FPMS) : hvis , så [2] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)))$

Eksempler

De klassiske eksempler til illustration af sum-produktsætningen er den aritmetiske progression og geometrisk progression . $A=\left\lbrace {1,\dots,n}\right\rbrace$ $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace$

En aritmetisk progression er maksimalt ordnet med hensyn til addition, så der kan dog laves mange forskellige produkter ud fra dens tal, så [3] , så med hensyn til multiplikation er den fuldstændig uordnet. $|A+A|<2|A|$ $|A\ gange A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$

På samme måde, for en geometrisk progression, , Men det er indlysende (hvis vi betragter den binære repræsentation af tal), at . $|B\ gange B|<2|B|$ $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$

Resultater

For reelle tal

Når sum-produkt-sætningen nogle gange også kaldes Erdős-Szemeredi-sætningen , da det var dem, der i 1983 rejste spørgsmålet om at overveje forholdet mellem antallet af summer og produkter. I samme værk fremsætter de hypotesen om, at værdien kan være vilkårligt tæt på enhed (det vil sige ). Men i samme artikel fremsætter de flere flere hypoteser, især en lignende for termer og mængder: . ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $\varepsilon$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\ gange A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)))$ $k$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{ko(1)))$

Kronologi for forbedring af værdiansættelsen $\delta$ ${\displaystyle \max\{\|A+A\|,\|AA\|\}\geq \|A\|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} ))$
År	Betyder $\delta$	forfatterne)
1983	$1/31$ ()(*)	Erdős , Szemeredy [4] $1+\delta$ i stedet for $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$ ()(*)	Ford [5]
1997	$1/4$ (**)	Elekesh [6]
2005	$3/11$	Shoimoshi [7]
2009	$1/3$	Shoimoshi [8]
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\ca. 0,333381...$	Konyagin , Shkredov [9]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\ca. 0,333842...$	Konyagin , Shkredov [10]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\ca. 0,333996...$	Rudnev, Shkredov, Stevens [11]
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\ca. 0,334280...$	Shakan [12]
2020 (fortryk)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\ca. 0,335047...$	Rudnev, Stevens [13]
() Kun for (*) Sand for grad i stedet for $A\subset {\mathbb {Z} }$ $1+\delta$ $1+\delta -o(1)$

For restfelter modulo

Terence Tao bemærker i sin monografi, at problemet med at opnå en analog af resultatet af Erdős og Szemeredy i felter blev stillet i 1999 af T. Wolf (i en privat samtale) for undergrupper af kardinalitet af orden . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $p^{1/2}$

Sum-produktproblemet i blev løst af Burgain , Glibbichuk og Konyagin og Burgain, Katz og Tao. De beviste følgende sætning ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

For enhver der eksisterer sådan, at hvis og , så skønnet $\varepsilon >0$ $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $|A|<p^{1-\varepsilon }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\ gange A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }

I sætningens tilstand er kravet naturligt, da hvis det har en ordre tæt på , så både mængder og vil være tæt på for at . [fjorten] $|A|<p^{1-\varepsilon }$ $|A|$ $s$ $|A+A|$ $|A\ gange A|$ $|A|$

For vilkårlige ringe

Terence Tao undersøgte grænserne for muligheden for at generalisere teoremet til vilkårlige ringe og især forbindelsen mellem ekstreme tilfælde af små værdier af og med antallet af nuldelere i et sæt og nærheden af dets struktur til en subring . [femten] $|A+A|$ $|A\cdot A|$ $EN$

Metoder til bevis

For reelle tal

Første bevis

Beviset for Erdős og Szemeredi brugte det faktum, at for små og der findes en løsning på systemet $|A+A|$ $|A\ gange A|$

{\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\ slut{cases}}

hvor tilhører nogle (forskellige) delmængder, og der stilles særlige betingelser for selve sættet. Ved at bruge et sådant udsagn som et lemma kan man også bevise sætningen for et vilkårligt sæt . [16] $b_{i}$ $EN$ $EN$ $EN$

Semeredi-Trotter-sætningen (Elekesh, 1997)

Hvis alle elementer har mange repræsentationer i formen for nogle små mængder , så estimere antallet af løsninger til ligningen $a\i A$ ${\displaystyle a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\i \Pi _{1},\ p_{2}\i \Pi _{2))$ ${\displaystyle \Pi _{1}\Pi _{2))$

a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .

med ethvert sæt , kan du bruge ligningen $B,C$

p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\i \Pi _{1},\ p_{2}\i \Pi _{2},\ b\in B, \c\i C\ .

På den anden side svarer løsninger af en sådan ligning til forekomster mellem linjer, som er parametriseret af par , og punkter, som er parametriseret af par . Derfor, for at estimere dem, viser det sig at være praktisk at bruge generelle resultater på forekomster, hvoraf det bedste er Szemeredy-Trotter-sætningen . [17] [18] $(p_{1},b)$ $(p_{2},c)$

Det er præcis, hvad Elekesh brugte til at bevise eksponentsætningen . [6] Implicit kan beviset opdeles i to faser: $\delta ={\frac {1}{4))$

ligningsanalyse (triviel, via udvidelse ) $a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C$ $\Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A$

anvendelse af opnåede estimater (trivielle, for ) $B:=A,\ C:=A+A$

Denne nedbrydning er vigtig for at forstå senere metoder .

Shoimoshis konstruktion (Shoimoshi, 2009)

Shoimoshi brugte det faktum, at hvis , så ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .

Det følger heraf, at hvis , så ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3 }}}$

{\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+ b_{3}}}\ .

På samme tid, for faste værdier , er alle par dannet af repræsentationer $\lambda \in A/A,\ \mu \in A/A$ $(a+c,b+d)$

\lambda ={\frac {a}{b)),\ \mu ={\frac {c}{d)),\ a,b,c,d\in A

vil være anderledes, derfor summerer vi dem over "nabopar" , kan vi få et skøn for i form af antallet af sådanne repræsentationer. Og det kommer til gengæld til udtryk (indirekte) gennem . [19] $(\lambda ,\mu )$ $|A+A|$ $|AA|$

Denne idé kan udtrykkes klarest geometrisk, da summeringen af punkter fra det, der ligger på tilstødende linjer, der udgår fra centrum af koordinaterne. $A\time A$

Nedbrydning af Shoimoshis konstruktion (Konyagin, Shkredov, 2015)

Hvis betingelsen om, at de summerede point skal tilhøre nabolinjer, fjernes fra Shoimoshis konstruktion, så vil intet garantere, at alle de resulterende summer vil være anderledes. For eksempel, generelt kan alle summer af point fra kun være forskellige i det ekstreme tilfælde , og det opfylder allerede sum-produkt-hypotesen. $A\time A$ $|A+A|\gg |A|^{2}$

Baseret på dette estimerede Konyagin og Shkredov det mindste antal tilfældigheder af sådanne beløb i mellemliggende tilfælde (når og er lig med det lavere skøn, det vil sige ). For at estimere antallet af kampe opdelte de alle linjer i blokke med det samme antal på hinanden følgende og estimerede antallet af kampe i hver blok for de fleste af dem. Ved at bruge disse estimater fik de et resultat med . [tyve] $|A+A|$ $|AA|$ $|A|^{4/3}$ $\delta >{\frac {1}{3}}$

Ikke-triviel multiplikativ ekspansion (Rudnev og Stevens, 2020)

Sammenfaldet af de to pointsummer , som Konyagin og Shkredov betragter , betyder, at der er en løsning på ligningssystemet

{\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{ 4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}

hvor både alle og parrene er forskellige. Ved at reducere systemet efter Gauss-metoden (i ét trin) kan man få ligningen $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\gange A$ $\lambda _{i}$ $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$

{\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2))

med konstante og samme betingelser på . Rudnev og Stevens anvendte dette til eksplicit at konstruere en multiplikativ udvidelse af en stor delmængde med bedre egenskaber end den trivielle. [21] $c_1, c_2$ $a_{1},a_{2}$ $EN$

Analogt med Elekeshs bevis giver dette os mulighed for at opdele beviset for estimater med eksponent i to trin: $\delta ={\frac {1}{3}}+c$

anvendelse af en ny multiplikativ udvidelse;

en ikke-triviel anvendelse af ligningen til estimering . [22] $ab=c$ $|A+A|$

Brug af højere energier

Den mest populære måde at bruge ligninger til at estimere er at bruge additiv energi og dens generaliseringer. Resultaterne af anvendelsen af Szemeredy-Trotter-sætningen gør det muligt bedst muligt at analysere formens ligninger $|A+A|$

E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\i A ^{3}\ gange D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}

for vilkårlig . Rudnev og Stevens foreslog en metode til at udnytte denne additive energi ved at overveje ligningen $D$

d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,

hvor svarer til sættet af populære (med et stort antal repræsentationer) forskelle, og hører til sættet af populære summer. Ud over problemet med sumprodukter er udviklingen af sådanne metoder relevant til at estimere summen af konvekse sekvenser . [23] $D$ $a+b$

Der er en lignende operatormetode, som er mindre effektiv til at estimere , men som giver dig mulighed for bedre at studere forholdet mellem og . [24] $|A+A|$ $E(A)$ $|AA|$

For simple felter

Når man beviser sætningen for , er begrebet additiv energi , Plünnecke-Rouge-uligheden og Balogh-Szemeredi-Gowers estimaterne meget brugt. Et muligt bevis bruger en nedre grænse for størrelsen af sættet og det faktum, at fra de øvre grænser på størrelserne og følger en modstridende nedre øvre grænse for størrelsen . [25] [26] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ $R(A)=A\venstre({{\frac {A\times AA\times A}{AA))+A}\right)$ $A+A$ $A\time A$ $R(A)$

Ansøgninger

Bourgain , Glibichuk og Konyagin [27] brugte et særligt tilfælde af sætningen til at estimere multilineære trigonometriske summer . Dette gjorde det især muligt at opnå ikke-trivielle øvre grænser for Gauss-summer over små multiplikative undergrupper . [28] Bourgain, Katz og Tao , ved at bruge samme case, styrkede estimatet i Szemeredy-Trotter-problemet i , og beviste, at for et sæt par for et sæt punkter fra og linjer for , gælder estimatet for nogle . [29] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={ \Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert}$ $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ $P$ $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ $L$ $|P|=|L|=n$ $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ $\varepsilon >0$

I det samme arbejde anvendte de teoremet til at undersøge Kakeyi -sæt i højdimensionelt rum . For størrelsen af et sådant sæt fik de et skøn . [26] [29] ${\displaystyle ({\mathbb {F} }_{p})^{d))$ $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$

Grænser for mulig forbedring af hypotesen

I den samme artikel, hvor Erdős og Szemeredi antog, at for , præsenterede de også et eksempel på at konstruere et vilkårligt stort sæt , som . Sættet af tal opnået som et produkt af ikke mere end primtal (ikke nødvendigvis forskellige) tjente som et sådant sæt , som hver ikke overstiger , hvor er et vilkårligt tilstrækkeligt stort tal. [16] $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\ gange A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ $A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0$ $EN$ ${\displaystyle |A+A|+|A\gange A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|))))$ $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x))\right\rfloor$ ${\displaystyle (\log x)^{3))$ $x$

Generaliseringer

For en kombination af operationer

Bourgain og Chang overvejede skøn over formen

\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{ b(k)}

for en vilkårlig og . [tredive] $k$ $b(k)\to \infty$

I mange værker kombineres addition og multiplikation i ét udtryk : for eksempel opnås ubetingede nedre grænser for . [31] $|AA+AA|$

For et sæt af par af termer/faktorer

En af generaliseringerne af formodningen er spørgsmålet om summer og produkter, der svarer til kanterne af en vilkårlig graf på elementerne i en mængde.

Lade være en graf, , . Betegn og ved lighederne $G=(A,E)$ $E\subset A\times A$ $|A|=n$ $c$ $\delta$

$|E|=n^{1+c}$

${\displaystyle \max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta ))$ , hvor , $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$ ${\displaystyle A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\i E\))$

Hvordan afhænger værdierne af og af hinanden ? $c$ $\delta$ $|A|\to \infty$

I modsætning til tilfældet er der muligvis ingen ekstrem vækst af hverken beløb eller produkter: ved , er situationen mulig, når [32] . Derfor, ud over nedre grænser, spørgsmålet om øvre grænser for . Nedre grænser undersøges dog også. [33] [34] $G=A\ gange A$ $c<1$ $\delta <c$ $\max\{|A+A|,|AA|\}$

For at estimere energierne

De nedre grænser for størrelsen af sættet af summer kan let udledes af de øvre grænser for den additive energi , så det er naturligt at generalisere hypotesen om den første til hypotesen om den anden ved at bruge et lignende koncept for multiplikativ energi .

Men et sæt tal kan godt have begge energier store på samme tid, da det lavere estimat kan styres af bidraget fra en separat delmængde. For eksempel, hvis , så for et sæt er det sandt, at ${\displaystyle E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3))$ $A=A_{1}\kop A_{2}$

\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .

Derfor, når man formulerer den tilsvarende energisætning, bruges forholdet mellem energierne i forskellige delmængder .

Balogh-Wooly teorem

Der er en konstant sådan, at der for ethvert sæt er en partition med betingelsen $\delta>0$ $A\subset {\mathbb {R} }$ $A=B\sqcup C$

{\displaystyle E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times}(C)\leq |A|^{3-\delta ))

Den bedste version af dette teorem er blevet bevist for . [12] Det er kendt, at det samme ikke gælder for . [35] $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$ $\delta >{\frac {2}{3}}$

Til vilkårlige konvekse funktioner

Multiplikationen af to tal kan repræsenteres som en funktion af additionen af deres logaritmer: . Den elementvise anvendelse af en strengt stigende funktion på et sæt ændrer ikke dets størrelse, så $ab=\exp(\log a+\log b)$

|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|

og den grundlæggende sum-produkt hypotese kan omformuleres som

{\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)))

eller (erstatter ) som $A:=\log A$

\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .

Det viser sig, at lignende estimater kan bevises for en vilkårlig konveks funktion i stedet for . $\exp$

Sætning [36]

Hvis er en vilkårlig mængde, er en vilkårlig strengt konveks funktion, så $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} ))$

{\displaystyle \max\{|AA|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)))

{\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)))

Spørgsmålet om, hvorvidt de samme estimater med indikatoren på højre side er korrekte, er fortsat åbent. $2-o(1)$

Lignende resultater blev også opnået for et større antal termer. [37]

Litteratur

Garaev M. Z. Summer og produkter af mængder og estimater af rationelle trigonometriske summer i felter af prime orden // Advances in Mathematical Sciences . - Russian Academy of Sciences , 2010. - T. 65 , no. 4 (394) . - S. 5-66 . doi :/ rm9367 . (Russisk)

P. Erdös, E. Szemeredi. Om summer og produkter af heltal (engelsk) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - S. 213-218 .

M. Nathanson. Om summer og produkter af heltal (engelsk) // Proceedings of the American Mathematical. - 1997. - Bd. 125 , udg. 1 .

K. Ford. Summer og produkter fra et endeligt sæt af reelle tal // The Ramanujan Journal. - 1998. - Bd. 2 . — S. 59–66 .

G. Elekes. Om antallet af summer og produkter (engelsk) // Acta Arithmetica. - 1997. - Bd. 81 , iss. 4 . — S. 365–367 .

J. Solymosi. Afgrænsning af multiplikativ energi med summen // Fremskridt i matematik. - 2009. - Bd. 222 , udg. 2 . — S. 402–408 . - arXiv : 0806.1040v3 .

SV Konyagin, ID Shkredov. På sumsæt af sæt med lille produktsæt // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Bd. 290 . — S. 288–299 . - arXiv : 1503.05771 .

SV Konyagin, ID Shkredov. Nye resultater på sum-produkter i . - 2016. - arXiv : 1602.03473 . ${\mathbb {R} }$

M. Rudnev, ID Shkredov, S. Stevens. Om energivarianten af sumproduktformodningen // Revista Matemática Iberoamericana. - 2020. - Bd. 36 , udg. 1 . — S. 207–232 . - arXiv : 1607.05053 .

G. Shakan. Om højere energinedbrydninger og sum-produkt-fænomenet (engelsk) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 2019. - Bd. 167 , udg. 3 . — S. 599–617 . - arXiv : 1803.04637 .

M. Rudnev, S. Stevens. En opdatering om sum-produktproblemet . - 2020. - arXiv : 2005.11145 .

G. Elekes, IZ Ruzsa. Få summer, mange produkter (engelsk) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. - 2003. - Bd. 40 , iss. 3 . — S. 301–308 .

B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. På de få produkter, mange summer problem // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. - 2019. - Bd. 31 , udg. 3 . - s. 573-602 . - arXiv : 1712.00410 .

N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Summer, produkter og forhold langs kanterne af en graf // Publicacions Matemàtiques . - 2020. - Bd. 64 , udg. 1 . — S. 143–155 . - arXiv : 1802.06405 .

N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Summer og produkter langs sparsomme grafer // Israel Journal of Mathematics. - 2012. - Bd. 188 , udg. 1 . — S. 353–384 . - arXiv : 0905.0135 .

I. Shkredov, J. Solymosi. Ensartethedsformodningen i additiv kombinatorik . - 2020. - arXiv : 2005.11559 .

J. Solymosi. Om antallet af summer og produkter (engelsk) // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2005. - Bd. 37 , udg. 4 . - S. 491-494 .

A. Balog, T.D. Wooley. A low-energy decomposition theorem (engelsk) // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2017. - Bd. 68 , udg. 1 . — S. 207–226 . - arXiv : 1510.03309 .

B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Højere konveksitet og itererede sumsæt . - 2020. - arXiv : 2005.00125 .

L. Li, O. Roche-Newton. Konveksitet og et sum-produkttype estimat // Acta Arithmetica. - 2012. - Bd. 156 . — S. 247–255 . - arXiv : 1111.5159v1 .

J. Bourgain, M.-C. Chang. Om størrelsen af -fold sum og produktsæt af heltal $k$ // Journal of the American Mathematical Society. - 2004. - Bd. 17 , iss. 2 . — S. 473–497 . — arXiv : math/0309055 .

K. I. Olmezov, A. S. Semchenkov, I. D. Shkredov. Om populære summer og forskelle for mængder med små multiplikativ fordobling // Matematiske noter. - 2020. - T. 108 , no. 4 . — S. 561–571 . - arXiv : 1911.12005 . (Russisk)

Noter

↑ Løst i Elekes, Ruzsa, 2003
↑ Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov , 2019 opnåede bedre resultater end i det generelle tilfælde
↑ Kilde . Hentet 21. januar 2018. Arkiveret fra originalen 22. januar 2018. (ubestemt)
↑ Det første papir af Erdös, Szemerédi, 1983 specificerede ikke betydningen af , men beviste kun eksistensen af . Men direkte at følge begrundelsen for dette arbejde viser, at det er korrekt for . Denne værdi er eksplicit nævnt senere i Nathanson, 1997 $\delta$ $\delta =1/31$
↑ Ford, 1998 .
↑ 12 Elekes , 1997 .
↑ Solymosi, 2005 .
↑ Solymosi, 2009 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2015 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2016 .
↑ Rudnev, Shkredov, Stevens, 2020 .
↑ 12 Shakan , 2019 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 .
↑ Garaev, 2010 , s. 1-2.
↑ Tao, Terence (2009), Sum-produkt-fænomenet i vilkårlige ringe, Bidrag til diskret matematik bind 4 (2): 59–82, hdl: 10515/sy5r78637 .
↑ 1 2 Erdös, Szemeredi, 1983 .
↑ Se Rudnev og Stevens, 2020 , Lemma 3
↑ På samme måde kan dekomponering bruges til analyse . Se Rudnev og Stevens, 2020 , Lemma 4. ${\displaystyle a=p_{1}-p_{2},\ p_{1}\i \Pi _{1},\ p_{2}\i \Pi _{2))$ $E^{\times }(A)$
↑ Se Solymosi, 2009 , formel (2).
↑ Se Konyagin og Shkredov, 2015 , bevis på Lemma 10
↑ Se Rudnev og Stevens, 2020 , s. 10 (efter forslag 1)
↑ Hvis det er trivielt at anvende disse estimater, på samme måde som for Elekesh, så vil resultatet være $\delta ={\frac {1}{3}}$
↑ Se Rudnev, Stevens, 2020 , sætning 5, især formel (25)
↑ Se Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020 , sætning 2
↑ Garaev, 2010 , s. 14-25.
↑ 1 2 Minikursus i additiv kombinatorik Arkiveret 29. august 2017 på Wayback Machine , Princeton University forelæsningsnoter
↑ J. Bourgain, A.A. Glibichuk, S.V. Konyagin, "Estimat for antallet af summer og produkter og for eksponentielle summer i felter med prime orden", J. London Math. soc. (2), 73:2 (2006), 380-398. . Hentet 21. januar 2018. Arkiveret fra originalen 22. januar 2018. (ubestemt)
↑ Garaev, 2010 , s. 7-9.
↑ 1 2 K. N. Bourgain, J. og T. Tao. Et sum-produktestimat i endelige felter og applikationer. GAFA, 14(1):27-57, 2004. arXiv: math/0301343 Arkiveret 22. januar 2018 på Wayback Machine
↑ Bourgain, Chang, 2004 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 , sætning 2
↑ Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020 , sætning 3
↑ Alon, Angel, Benjamini, Lubetzky, 2012 , undersøgelse 4
↑ Shkredov, Solymosi, 2020 , sætning 3
↑ Balog, Wooley, 2017 , sætning 1.2
↑ Li, Roche-Newton, 2012 , sætninger 1.1, 1.2
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , sætning 1.4