Additiv energi

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Additiv energi er en numerisk karakteristik af en delmængde af gruppen, der illustrerer strukturen af sættet i forhold til gruppeoperationen. Udtrykket blev opfundet af Terence Tao og Wang Wu [1] .

Definition

Lad være en gruppe. $(G,+)$

Den additive energi af mængderne og er betegnet som og er lig med [2] antallet af løsninger af følgende ligning: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

På samme måde kan man definere den multiplikative energi (for eksempel i en ring ) som antallet af løsninger til ligningen: $E_{\times }(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Ekstreme værdier

Den når sin mindste værdi, når alle summerne er forskellige (fordi ligningen er kun gyldig for ) - for eksempel når og er et sæt af forskellige generatorer af en gruppe fra et minimalt generatorsæt . Derefter $E_{+}(A,B)$ $a+b\ (a\in A,b\in B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $EN$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

Den største værdi nås, når og er en undergruppe af . I dette tilfælde er for et hvilket som helst antal løsninger til ligningen , så $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $EN$ $G$ $x\i A$ $a+b=x\ (a,b\in A)$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

Følgelig kan mellemliggende vækstordreværdier mellem og betragtes som en større eller mindre indikator for strukturens nærhed til undergruppens struktur. For nogle grupper gør visse restriktioner på den additive energi det muligt at bevise strukturelle sætninger om eksistensen af tilstrækkeligt store undergrupper inde i (eller et sæt afledt af det) og om indlejringsevnen (eller et sæt afledt af det) i tilstrækkeligt små undergrupper . [3] Restriktionerne for disse teoremer er relateret til torsionseksponenten for gruppen og dens individuelle generatorer. Men for cykliske og torsionsfrie grupper er der lignende sætninger, der overvejer generaliserede aritmetiske progressioner i stedet for undergrupper . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $EN$ $G$ $G$ $EN$ $EN$ $G$ $G$ $G$

Grundlæggende egenskaber

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2))

, hvor [2]

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

Bevis

Lad os betegne . $\lambda (x)=\#\venstre\lbrace {(a,b)\in A\gange B:a+b=x}\right\rbrace$

Så og ifølge Cauchy-Bunyakovsky uligheden , $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

For en prime restring kan den additive energi udtrykkes i trigonometriske summer . Lad os betegne . Derefter $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Bevis

Vi vil bruge Iverson-notationen og indikatoridentiteten .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\i A,b_{1},b_{2}\i B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\i A,b_{1},b_{2}\i B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ højre)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Bemærk, at udtrykket i form af trigonometriske summer kun er gyldigt for additiv energi, men ikke for multiplikativ energi, da det eksplicit bruger egenskaberne for addition i . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Ansøgninger

De additive og multiplikative energier bruges i additiv og aritmetisk kombinatorik til at analysere kombinatoriske summer og sæt produkter , især for at bevise sum-produkt-sætningen . $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$

Ældste energier

Der er to hovedgeneraliseringer af ligningen, der definerer additiv energi - ved antallet af led og ved antallet af ligheder:

E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace

De kaldes højere energier [4] , og det er nogle gange muligt at opnå estimater for dem uden at opnå estimater for den sædvanlige additive energi. [5] [6] Samtidig tillader Hölders ulighed (med betydelig forringelse) at estimere den almindelige energi i form af de højere.

For parameteren i , er reelle tal nogle gange overvejet, og ikke kun heltal (simpelthen gennem substitution i det sidste udtryk). [7] $k$ $E_k$

Se også

Sum-produkt teorem
Changs strukturteorem

Litteratur

Yu. N. Shteinikov. Estimater for trigonometriske summer over undergrupper og nogle af deres anvendelser // Matematiske noter. - 2015. - T. 98 , no. 4 . - S. 606-625 . (Russisk)

I. D. Shkredov. Adskillige nye resultater om højere energier (engelsk) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Bd. 74 , udg. 1 . - S. 35-73 .

Noter

↑ co.combinatorics - Hvor stammer udtrykket "additiv energi" fra? - MathOverflow . Hentet 23. august 2019. Arkiveret fra originalen 23. august 2019. (ubestemt)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Summer og produkter af mængder og skøn over rationelle trigonometriske summer i felter af prime orden, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, bind 65, udgave 4 (394) , s. 25 (ifølge paginering)
↑ Forelæsninger fra Chebyshevs laboratorium, kursus "Additiv kombinatorik" (Fyodor Petrov), forelæsning 6 , fra øjeblikket 1:11:30
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , s. 607, sætning 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Stærkere sum-produkt uligheder for små sæt", s. 5, følge 7
↑ Shkredov, 2013 , s. 59, sætning 6.3.