Rationelle rødder teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; checks kræver 4 redigeringer .

I algebra definerer den rationelle rødder-sætning (også testen for rationelle rødder ) en ramme for de rationelle rødder af et polynomium af formen:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

med heltalskoefficienter og . _ $a_{i}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

Sætningen siger, at enhver rationel rod , hvor og er coprimtal , opfylder betingelsen, at $x=p/q$ $s$ $q$

$s$ er en divisor af det frie udtryk , $a_{0}$

$q$ er divisor af den førende koefficient . $a_n$

Den rationelle rødder-sætning er et specialtilfælde af Gauss-lemmaet .

Ansøgning

Sætningen bruges til at finde alle rationelle rødder til et polynomium, hvis der findes nogen. Med dens hjælp bestemmes et begrænset antal mulige løsninger, der skal testes ved substitution. Hvis der findes en rationel rod , kan det oprindelige polynomium divideres uden rest med for at opnå et polynomium af mindre grad, hvis rødder også er rødderne af det oprindelige polynomium. $x=r$ $xr$

Kubisk ligning

Kubisk ligning i generel form:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

med heltalskoefficienter har tre løsninger i komplekse tal . Hvis testen for rationelle rødder ikke afslører nogen, så er den eneste måde at udtrykke løsninger på at bruge terningrødder . Men hvis der findes mindst én rationel løsning r , vil sætte ( x - r) ud af parentes føre til en andengradsligning , som kan løses gennem diskriminanten .

Bevis

Lade:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\i Z$ .

Antag, at for nogle coprime- heltal og : $P(p/q)=0$ $s$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+ a_{0}=0$ .

Ved at gange begge sider af ligningen med , tage ud af parenteser og overføre det frie led med det modsatte fortegn til højre side af ligningen, får vi: $q^{n}$ $s$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Det kan ses, at det er en divisor . Men og er coprimtal, hvilket betyder, at det også skal være en divisor . $s$ ${\displaystyle a_{0}q^{n))$ $s$ $q$ $s$ $a_{0}$

Hvis vi tværtimod overfører det førende led til højre side af ligningen og sætter det ud af parentes, får vi: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Lad os lave en konklusion om delelighed med [1] . $a_n$ $q$

Eksempler

Eksempel 1

Hver rationel rod af et polynomium

$2x^{3}+x-1$

skal have en divisor på én i tælleren og en divisor på to i nævneren. De mulige rationelle rødder er således og . Men ingen af dem vender udtrykket til nul, derfor har polynomiet ingen rationelle rødder. $\pm {\frac {1}{2))$ $\pm 1$

Eksempel 2

Hver rationel rod af et polynomium

$x^{3}-7x+6$

skal have en divisor på seks i tælleren og en divisor på en i nævneren, hvorfra de mulige rødder er . Af disse , og drej udtrykket til nul, hvilket er rødderne til polynomiet. $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ $en$ $2$ $-3$

Noter

↑ Arnold, Denise. 4 enheder matematik . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 sider s. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Litteratur

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Fundamentals of college algebra . — 3. udgave. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — S. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD De historiske rødder af elementær matematik . - Dover Courier Publications, 1998. - S. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Calculus: en anvendt tilgang . - Cengage Learning, 2007. - S. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .