Modularitetssætning

Modularitetssætningen  er en matematisk sætning , der etablerer et vigtigt forhold mellem elliptiske kurver over feltet af rationelle tal og modulære former , som er visse analytiske funktioner af en kompleks variabel . I 1995 beviste Andrew Wiles , med hjælp fra Richard Taylor , denne teorem for alle semistable elliptiske kurver over feltet af rationelle tal. Beviset for de resterende (ikke-semistabile) tilfælde af teoremet var resultatet af Christoph Breuils arbejde, Brian Conrad, Fred Diamondog Richard Taylor. Indtil 2001 (det fulde bevis blev opnået i 1999 ), blev teoremet kaldt Taniyama-Shimura-Weil-formodningen (eller Taniyama-Shimura-Weil-formodningen ).

Modularitetssætningen er en del af Langlands-programmet , som specifikt har til formål at finde forholdet mellem automorfe former eller automorfe repræsentationer (en bekvem generalisering af modulær form) med mere generelle objekter i algebraisk geometri , såsom elliptiske kurver over et algebraisk talfelt. De fleste af hypoteserne i dette program er endnu ikke blevet bevist.

Ordlyd

Hvis  er et primtal , og  er en elliptisk kurve over ( feltet af rationelle tal ), så kan vi forenkle ligningen ved at definere modulo ; for ethvert endeligt sæt af værdier kan man opnå en elliptisk kurve over et begrænset felt af elementer. Lad os introducere en sekvens , som er en vigtig invariant af den elliptiske kurve . Enhver modulær form giver os også en talfølge (ved hjælp af Fourier-transformationen ). En elliptisk kurve, hvis rækkefølge falder sammen med en modulær form, kaldes en modulær.

Modularitetssætningen siger, at alle elliptiske kurver over er modulære.

Historie

Denne udtalelse blev først fremsat som en hypotese af Yutaka Taniyama i september 1955 . Sammen med Goro Shimura finpudsede han formuleringen lidt i 1957 , men kunne ikke fortsætte på grund af psykiske problemer [1] [2] .

I 1960'erne blev hypotesen inkluderet i Langlands-programmet for ensretning af matematiske hypoteser. Franskmanden Andre Weil huskede hypotesen i 1970'erne og begyndte sin aktive undersøgelse , derfor kaldes denne hypotese ofte Taniyama-Shimura-Weil-hypotesen .

Hypotesen blev først bredt interesseret, da Gerhard Frei i 1985 foreslog, at Taniyama-Shimura-formodningen (dengang hed det det) er en generalisering af Fermats sidste sætning , fordi ethvert modeksempel til Fermats sidste sætning i sidste ende ville føre til en ikke-modulær elliptisk kurve. I 1986 Ken Ribetbevist denne antagelse. I 1995 beviste Andrew Wiles og Richard Taylor et særligt tilfælde af Taniyama-Shimura-sætningen (tilfældet med semistable elliptiske kurver), hvilket var nok til at bevise Fermats sidste sætning [3] .

Modularitetssætningen blev fuldt bevist i 1999 som et resultat af Christoph Breuils arbejde, Brian Conrad, Fred Diamondog Richard Taylor , der, der bygger på Wiles' arbejde, beviste de resterende (ikke-semi-stabile) tilfælde.

Andre talteoremer følger af modularitetssætningen, svarende til Fermats sidste sætning. For eksempel kan "terningen af ​​et tal ikke skrives som summen af ​​to coprimtal, der er den -te potens af et naturligt tal, hvis " [4] .

I marts 1996 modtog Wiles Ulveprisen sammen med Robert Langlands . Selvom ingen af ​​dem fuldstændigt beviste teoremet, blev det hævdet, at de ydede et væsentligt bidrag, hvilket i høj grad lettede yderligere bevis [5] .

Noter

  1. ↑ Stewart, 2016 , s. 196.
  2. ↑ Taniyama begik selvmord i 1958 og efterlod en ret kryptisk note. Omkring en måned senere begik hans forlovede Misako Suzuki selvmord og efterlod en seddel om, at hun skulle genforenes med sin forlovede.
  3. ↑ Soloviev Yu.P. Taniyamas formodning og Fermats sidste teorem  (neopr.)  // Soros Educational Journal. - 1998. - Februar. - S. 135-138 .
  4. ↑ Sagen var endog kendt af Euler og Fermat selv.
  5. ↑ Stewart, 2016 , s. 200.

Links

Litteratur