Youngs teorem

Youngs teorem er en ulighed for diameteren og radius af et sæt punkter i ethvert euklidisk rum . Opkaldt efter Heinrich Jung.

Ordlyd

Lade være et kompakt sæt af diameter ; det er, $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ $d$

{\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|pq\|\)))

Så er der en lukket kugle med radius

r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))},

som indeholder . Ligestilling opnås for en regulær n - simplex . $K$

2D sag

Det mest almindelige tilfælde er flyet , dvs. I dette tilfælde angiver uligheden, at der er en cirkel, der omslutter alle punkter, hvis radius opfylder $n=2$

r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Denne ulighed opnås for en ligesidet trekant

r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Variationer og generaliseringer

Generelle metriske rum

For ethvert afgrænset sæt i ethvert metrisk rum , $K$

{\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d

Den første ulighed følger af trekantens ulighed for midten af bolden og to diametrale punkter. Den anden følger af det faktum, at en kugle med radius d centreret på et hvilket som helst punkt vil indeholde alle . $K$ $K$

I et diskret metrisk rum, det vil sige et rum, hvor afstandene mellem ethvert par adskilte punkter er lige store, nås den anden ulighed. Den første ulighed opnås i injektive rum, såsom afstanden mellem byblokke på flyet.

Se også

Youngs ulighed

Litteratur

Rademacher G. , Toeplitz O. Tal og figurer. Eksperimenter i matematisk tænkning . - (Udgave 10 af serien " Library of the Mathematical Circle ").