Bolzano-Weierstrass sætning

Bolzano-Weierstrass-sætningen eller Bolzano-Weierstrass-grænsepunktslemmaet er et analyseforslag , hvis formuleringer siger: fra enhver begrænset række af punkter i rummet kan der skelnes en konvergent undersekvens. Bolzano-Weierstrass-sætningen, især tilfældet med en numerisk sekvens ( ), er inkluderet i hvert analyseforløb. Det bruges i beviset for mange forslag til analyse, for eksempel sætningen om opnåelse af en funktion kontinuerlig på et segment ved dets bedste øvre og nedre grænser . Sætningen bærer navnene på den tjekkiske matematiker Bolzano og den tyske matematiker Weierstrass $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1$ , som selvstændigt formulerede og beviste det.

Formuleringer

Flere formuleringer af Bolzano-Weierstrass-sætningen er kendt.

Første formulering

Lad en række af punkter i rummet $\mathbb {R} ^{n}$ foreslås :

x_1, x_2, \ldots

og lad denne rækkefølge være afgrænset , dvs.

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

hvor er et eller andet nummer. $C > 0$

Så fra denne sekvens kan vi vælge en undersekvens

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

som konvergerer til et eller andet punkt i rummet . $\mathbb {R} ^{n}$

Bolzano-Weierstrass-sætningen i denne formulering kaldes undertiden princippet om kompakthed af en afgrænset sekvens .

Udvidet version af den første formulering

Ofte er Bolzano-Weierstrass-sætningen suppleret med følgende forslag.

Hvis rækkefølgen af punkter i rummet er ubegrænset , så er det muligt at vælge en undersekvens fra den, der har en grænse . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

Til tilfældet kan denne formulering forfines: fra enhver ubegrænset numerisk sekvens kan man vælge en undersekvens, der har en uendelig grænse for et bestemt tegn ( eller ). $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Enhver talrække indeholder således en delsekvens, der har en grænse i det udvidede sæt af reelle tal . $\overline{\mathbb{R))$

Anden formulering

Følgende forslag er en alternativ formulering af Bolzano-Weierstrass-sætningen.

Hver afgrænset uendelig delmængde af rummet har mindst ét grænsepunkt i . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Mere detaljeret betyder det, at der eksisterer et punkt , hvor hvert kvarter indeholder et uendeligt antal punkter i sættet . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon}(x_0)$ $E$

Bevis for ækvivalensen af to formuleringer af Bolzano-Weierstrass-sætningen

$\bigl ( 1 \Højrepil 2 \bigr )$ Lade være en afgrænset uendelig delmængde af rummet . Tag en række forskellige punkter ind $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Da denne sekvens er afgrænset, i kraft af den første formulering af Bolzano-Weierstrass-sætningen, kan man uddrage en undersekvens fra den

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

konvergerer til et eller andet punkt . Så indeholder ethvert område af punktet et uendeligt antal punkter i sættet . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \Højrepil 1 \bigr )

Omvendt, lad en vilkårlig afgrænset sekvens af punkter i rummet gives :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Sættet af værdier i denne sekvens er begrænset, men det kan være enten uendeligt eller endeligt. Hvis finit, så gentages en af værdierne i rækkefølgen et uendeligt antal gange. Derefter danner disse udtryk en stationær undersekvens (dvs. en sekvens, hvis elementer alle er ens, startende fra nogle), der konvergerer til punktet . $E$ $E$ $en \i E$ $-en$

Hvis mængden er uendelig, så eksisterer der i kraft af den anden formulering af Bolzano-Weierstrass-sætningen et punkt i ethvert nabolag, hvor der er uendeligt mange forskellige medlemmer af sekvensen. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Lad os vælge sekventielt for punktet, mens vi observerer betingelsen for stigende antal: $m = 1, 2, \ldots$ $x_{k_m} \in U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Derefter konvergerer efterfølgen til punktet .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

quod erat demonstration

Bevis

Bolzano-Weierstrass-sætningen er afledt af fuldstændighedsegenskaben for mængden af reelle tal . Den bedst kendte variant af beviset bruger fuldstændighedsegenskaben i form af indlejrede segmenter-princippet .

Endimensionel kasus

Lad os bevise, at det fra enhver afgrænset numerisk sekvens er muligt at vælge en konvergent undersekvens. Følgende bevismetode kaldes Bolzano-metoden eller halveringsmetoden .

Lad en afgrænset numerisk rækkefølge være givet

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

Det følger af sekvensens afgrænsning, at alle dens medlemmer ligger på et bestemt segment af den reelle linje, som vi betegner med . $[a_0, b_0]$

Del segmentet i to lige store segmenter. Mindst et af de resulterende segmenter indeholder et uendeligt antal sekvensmedlemmer. Lad os udpege det . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

På næste trin gentager vi proceduren med segmentet : vi deler det i to lige store segmenter og vælger blandt dem den, der indeholder et uendeligt antal medlemmer af sekvensen. Lad os udpege det . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Ved at fortsætte processen opnår vi en sekvens af indlejrede segmenter

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

hvor hver efterfølgende er halvdelen af den foregående og indeholder et uendeligt antal medlemmer af sekvensen . $\{x_k\}$

Længden af segmenterne har en tendens til nul:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \til 0

I kraft af Cauchy-Cantor-princippet om indlejrede segmenter er der et enkelt punkt , der hører til alle segmenter: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots

Ved konstruktion indeholder hvert segment et uendeligt antal led i sekvensen. Lad os vælge en rækkefølge $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots

mens du observerer tilstanden med stigende antal:

k_0 < k_1 < \ldots

Derefter konvergerer efterfølgen til punktet . Dette følger af, at afstanden fra til ikke overstiger længden af det segment, der indeholder dem , hvorfra $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \til 0

Udvidelse til tilfældet med et rum med vilkårlig endelig dimension

Bolzano-Weierstrass-sætningen generaliseres let til tilfældet med et rum af vilkårlig dimension.

Lad en række af punkter i rummet gives : $\mathbb{R}^n$

\begin{matrix} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matrix}

(det nederste indeks er nummeret på sekvensmedlemmet, det øverste er koordinatnummeret). Hvis rækkefølgen af punkter i rummet er begrænset, så er hver af de numeriske sekvenser af koordinater: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

er også begrænset ( er koordinatnummeret). $\nu = 1, \ldprikker, n$

I kraft af den endimensionelle variant af Bolzano-Weierstrass-sætningen er det muligt at udtrække en undersekvens af punkter fra sekvensen, hvis første koordinater danner en konvergent sekvens. Fra den resulterende delsekvens vælger vi igen en delsekvens, der konvergerer langs den anden koordinat. I dette tilfælde bevares konvergensen i den første koordinat på grund af det faktum, at enhver undersekvens af en konvergent sekvens også konvergerer. Og så videre. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

Efter trinene får vi en rækkefølge $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

som er en underfølge af , og konvergerer i hver af koordinaterne. Det følger heraf, at denne efterfølgen konvergerer. $x_1, x_2, \ldots$

Historie

Bolzano-Weierstrass-sætningen (for sagen ) blev først bevist af den tjekkiske matematiker Bolzano i 1817. I Bolzanos arbejde optrådte det som et lemma i beviset for teoremet om mellemværdier af en kontinuerlig funktion , nu kendt som Bolzano-Cauchy-sætningen. Disse og andre resultater, bevist af Bolzano længe før Cauchy og Weierstrass , gik dog ubemærket hen. $n=1$

Kun et halvt århundrede senere genopdagede og beviste Weierstrass, uafhængigt af Bolzano, denne teorem. Det blev oprindeligt kaldt Weierstrass-sætningen, før Bolzanos arbejde blev kendt og modtog anerkendelse.

I dag bærer denne teorem navnene Bolzano og Weierstrass. Ofte kaldes denne sætning Bolzano-Weierstrass- lemmaet , og nogle gange grænsepunktslemmaet .

Bolzano-Weierstrass-sætningen og begrebet kompakthed

Bolzano-Weierstrass-sætningen etablerer følgende interessante egenskab ved et afgrænset sæt : hver sekvens af punkter indeholder en konvergent undersekvens. $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$

Når man beviser forskellige påstande i analyse, griber man ofte til følgende trick: en sekvens af punkter bestemmes, der har en ønsket egenskab, og derefter vælges en undersekvens fra den, som også besidder den, men som allerede konvergerer. For eksempel er det sådan , Weierstrass-sætningen bevises , at en funktion kontinuert på et interval er afgrænset og tager dens største og mindste værdier.

Effektiviteten af en sådan teknik generelt, samt ønsket om at udvide Weierstrass-sætningen til vilkårlige metriske rum , fik den franske matematiker Maurice Fréchet til at introducere begrebet kompakthed i 1906 . Egenskaben ved afgrænsede mængder i , som er etableret af Bolzano-Weierstrass-sætningen, er billedligt talt, at sættets punkter er placeret ret "tæt" eller "kompakt": efter at have taget et uendeligt antal skridt langs dette sæt , vil vi helt sikkert nærme os så tæt som vi kan lide hvilket - et punkt i rummet. $\mathbb{R}^n$

Fréchet introducerer følgende definition: et sæt kaldes kompakt , eller kompakt , hvis en sekvens af dets punkter indeholder en undersekvens, der konvergerer til et eller andet punkt i dette sæt. Det antages, at en metrik er defineret på sættet, det vil sige, at det er et metrisk rum eller en delmængde af et metrisk rum. $M$ $M$

Baseret på denne definition er ikke alle afgrænsede mængder kompakte: en undersekvens af punkter fra kan konvergere til et punkt, der ikke længere hører til dette sæt. Lukningen af et afgrænset sæt er dog allerede kompakt . Bolzano-Weierstrass-sætningen etablerer således en tilstrækkelig betingelse for kompakthed i rummet : For at et sæt skal være kompakt , er det tilstrækkeligt , at det er lukket og afgrænset. Det er ikke svært at verificere nødvendigheden af disse betingelser (dette er meget nemmere end at bevise tilstrækkelighed). $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \subset \mathbb{R}^n$

Ud fra den generelle definition af kompakthed er Bolzano-Weierstrass-sætningens rolle således, at den etablerer et kriterium for kompakthed i rummet : kompakte mængder i er nøjagtigt lukkede afgrænsede mængder. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Se også

Noter

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Historie om matematik. - M . : Forlag ved Moskva Universitet, 1963. - T. 2.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / pr. fra engelsk. Havin. Den anden er stereotyp. - M . : "Mir", 1976.