Lemma om indlejrede segmenter

De indlejrede segmenter lemma , eller Cauchy-Cantors princip om indlejrede segmenter [1] , eller Cantors kontinuitetsprincip [2] , er et grundlæggende udsagn i matematisk analyse forbundet med fuldstændigheden af feltet af reelle tal .

Ordlyd

For ethvert system af indlejrede segmenter

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

der er mindst ét punkt , der hører til alle segmenter af det givne system. $c$

Hvis derudover længden af systemets segmenter har en tendens til nul:

\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0

så er det eneste fælles punkt for alle segmenter af det givne system. $c$

Bemærk

Segmenterne i formuleringen af sætningen kan ikke erstattes af åbne intervaller. For eksempel,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n))\right)=\varnothing

Bevis

1) Eksistensen af et fælles punkt. Sættet af venstre ender af segmenter ligger på den reelle linje til venstre for sættet af højre ender af segmenter , fordi $\{a_{n}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

I kraft af kontinuitetsaksiomet er der et punkt, der adskiller disse to sæt, dvs. $c$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

i særdeleshed

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

Den sidste ulighed betyder, at det er et fælles punkt for alle segmenter af det givne system. $c$

2) Det unikke ved et fælles punkt. Lad længden af systemets segmenter vende mod nul. Lad os vise, at der kun er ét punkt, der hører til alle segmenter af systemet. Antag det modsatte: lad der være to forskellige punkter og , der hører til alle segmenter af systemet: $c$ $c'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Så gælder følgende uligheder for alle tal: $n$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

I kraft af betingelsen om, at længderne af segmenterne har en tendens til nul for alle for alle tal , begyndende fra et bestemt, er uligheden $\varepsilon >0$ $n$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Tager vi denne ulighed ind , får vi $\varepsilon ={\frac {1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac {1}{2}}|cc'|

Modsigelse. Lemmaet er fuldstændig bevist.

Det indlejrede intervallemma og fuldstændigheden (kontinuiteten) af feltet med reelle tal

Det indlejrede intervallemma er tæt forbundet med kontinuiteten (fuldstændigheden) af feltet af reelle tal . Ovenstående bevis på lemmaet var således i det væsentlige baseret på kontinuitetsaksiomet . Det kan vises, at hvis det ordnede felt ikke er kontinuert, så holder princippet om indlejrede segmenter muligvis ikke. For eksempel, hvis vi tager feltet med rationelle tal , som ikke er kontinuert, og betragter en sekvens af indlejrede segmenter

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\ldots

hvis ender er decimalapproksimationer af et irrationelt tal med henholdsvis en mangel og et overskud med en nøjagtighed på , viser det sig, at dette system af indlejrede segmenter ikke har noget fælles punkt. ${\sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\ldots$

Desuden kan det påvises, at det nestede intervalprincip er en af de ækvivalente formuleringer af feltkontinuitet (og derfor kaldes Cantors princip om kontinuitet ). Mere præcist gælder følgende forslag [2] . For ethvert ordnet arkimedisk felt indebærer princippet om indlejrede segmenter kontinuiteten af dette felt.

Noter

↑ Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. - Red. 4., rev. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudryavtsev L. D. Matematisk analyseforløb. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.

Litteratur

Kamynin L. I. Matematisk analyse. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .