Tensor produkt

Tensorprodukt er en operation på vektorrum såvel som på elementer ( vektorer , matricer , operatorer , tensorer osv.) af multiplicerede rum.

Tensorproduktet af lineære rum er det lineære rum angivet med . For elementer og deres tensorprodukt ligger i rummet . $EN$ $B$ $Nogle gange B$ $a\i A$ $b\i B$ $nogle gange b$ $Nogle gange B$

Notationen for tensorproduktet blev til i analogi med notationen for det kartesiske produkt af mængder.

Tensorprodukt af lineære (vektor) rum

Finit-dimensionelle rum

Lad og være endelig-dimensionelle vektorrum over feltet , vær et grundlag i , og vær et grundlag i . Vi vil kalde rummets tensorprodukt for det vektorrum , der genereres af elementer , kaldet tensorprodukter af basisvektorer . Tensorproduktet af vilkårlige vektorer kan defineres ved at indstille operationen til at være bilineær : $EN$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ $EN$ $\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ $B$ $Nogle gange B$ $EN$ $B$ $e_{i}\nogle gange f_{k}$ $nogle gange b$ $a\i A,~b\i B$ $\ nogle gange$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ i K

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \i K

I dette tilfælde er tensorproduktet af vilkårlige vektorer og udtrykt som en lineær kombination af basisvektorer . Elementer i , der kan repræsenteres som , kaldes nedbrydelige . $-en$ $b$ $e_{i}\nogle gange f_{k}$ $Nogle gange B$ $nogle gange b$

Selvom tensorproduktet af rum er defineret i forhold til valget af baser, afhænger dets geometriske egenskaber ikke af dette valg.

Definering med en generisk egenskab

Tensorproduktet er på en måde det mest generelle rum, hvori de oprindelige rum kan kortlægges bilineært. Nemlig, for enhver anden rum- og bilineær mapping eksisterer der en unik lineær mapping sådan $C$ $\otimes ^{\prime }:A\gange B\til C$ $f:A\nogle gange B\til C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

hvor angiver sammensætningen af funktioner . $\cirk$

Især følger det heraf, at tensorproduktet ikke afhænger af valget af baser i og , da alle rum, der opfylder den universelle egenskab , viser sig at være kanonisk isomorfe til . $EN$ $B$ $Nogle gange B$

At specificere en vilkårlig bilineær mapping svarer således til at specificere en lineær mapping : rum og er kanonisk isomorfe. $L^{2}\ni \varphi :A\gange B\til C$ $L\ni \varphi :A\nogle gange B\til C$ $\L^{2}(A\gange B,C)$ $L(A\ gange B,C)$

Produkt med mere end to mellemrum

Ovenstående universelle egenskab kan udvides til produkter med mere end to rum. Lad f.eks. , , og være tre vektorrum. Tensor produkt sammen med trilineær kortlægning fra direkte produkt $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle \varphi :V_{1}\ gange V_{2}\ gange V_{3}\til V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

har den form, som enhver trilineær kortlægning fra et direkte produkt til et vektorrum $F$ $W$

F:V_{1}\ gange V_{2}\ gange V_{3}\til W

føres unikt gennem tensorproduktet:

F=L\circ \varphi

hvor er en lineær kortlægning. Tensorproduktet er unikt karakteriseret ved denne egenskab, op til isomorfi . Resultatet af ovenstående konstruktion falder sammen med gentagelsen af tensorproduktet af to rum. For eksempel, hvis , og er tre vektorrum, så er der en (naturlig) isomorfi $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\nogle gange V_{3}.

Generelt er tensorproduktet af en vilkårlig indekseret familie af sæt defineret som et universelt objekt for multilineære afbildninger fra et direkte produkt . $V_i$ $i\i I$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Lade være et vilkårligt naturligt tal. Derefter kaldes rummets tensorpotens tensorproduktet af kopier : $n$ $n$ $V$ $n$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funktionalitet

Tensorproduktet virker også på lineære afbildninger. Lad , være lineære operatorer. Tensorproduktet af operatører bestemmes af reglen $A\colon U_{1}\to U_{2}$ $B\colon W_{1}\to W_{2}$ ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2))$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

Efter denne definition bliver tensorproduktet en bifunctor fra kategorien vektorrum ind i sig selv, kovariant i begge argumenter. [en]

Hvis matricerne af operatorerne A og B for nogle valg af baser har formen

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

så vil matricen af deres tensorprodukt blive skrevet i basisen dannet af basernes tensorprodukt i form af en blokmatrix

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatrix}}

Den tilsvarende matrixoperation kaldes Kronecker-produktet efter Leopold Kronecker .

Særlige tilfælde

Tensorprodukt af to vektorer

(Matrix) multiplikationen af en kolonnevektor til højre med en rækkevektor beskriver deres tensorprodukt:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Egenskaber

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Følgende algebraiske egenskaber er baseret på kanonisk isomorfi:

Associativitet

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Formelt set er tensorproduktet ikke kommutativt, men der er en naturlig isomorfi $A\otimes B\to B\otimes A$
Linearitet

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\plus

er den ydre sum af lineære rum.

Tensor produkt af moduli

Lad være moduler over nogle kommutative ring . Tensorproduktet af moduler er et modul over , givet sammen med en multilineær mapping og har universalitetsegenskaben, det vil sige sådan, at der for enhver modulover og enhver multilineær mapping er en unik homomorfi af moduler , således at diagrammet $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $R$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h\kolon B\til C$

kommutativ. Tensorproduktet er angivet med . Det følger af universaliteten af tensorproduktet, at det er unikt defineret op til isomorfi. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

For at bevise eksistensen af et tensorprodukt af moduler over en kommutativ ring konstruerer vi et frit modul, hvis generatorer er n elementer af moduler, hvor . Lade være et undermodul genereret af følgende elementer: $M$ $(x_{1},\dots,x_{n})$ $x_{i}\in A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\dots,x_{i}+y_{i},\dots,x_{n})-(x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{n}) -(x_{1},\dots,y_{i},\dots,x_{n})$
$(x_{1},\dots,\lambda x_{i},\dots,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{n})$

Tensorproduktet er defineret som kvotientmodulet , klassen betegnes , og kaldes elementet tensorprodukt , a er defineret som den tilsvarende inducerede mapping. $B=M/N$ $(x_{1},\dots,x_{n})+N$ $x_{1}\nogle gange \dots \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $f$

Det følger af 1) og 2), at kortlægningen er multilineær. Lad os bevise, at der for ethvert modul og enhver multilineær kortlægning eksisterer en unik modulhomomorfi , sådan at . $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h$ $g=h\cirkel f$

Faktisk, da det er gratis, eksisterer der en unik kortlægning , der gør diagrammet $M$ $h^{*}$

kommutativ, og på grund af det faktum, at det er multilineært, så på , herfra, overgår til den inducerede kortlægning, opnår vi, at , vil være den eneste homomorfi, hvis eksistens var påkrævet for at blive bevist. $g$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\kolon M/N\til C$

Elementer , der kan repræsenteres i formen , kaldes dekomponerbare . $A_{1}\nogle gange \dots \otimes A_{n}$ $x_{1}\nogle gange \dots \otimes x_{n}$

Hvis der er isomorfismer af moduler, så svarer den inducerede homomorfi til den bilineære kortlægning $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$

f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}

eksisterende ved egenskaben universalitet kaldes tensorproduktet af homomorfismer . $f_{i}$

Et særligt simpelt tilfælde opnås ved gratis moduler . Lad være grundlaget for modulet . Lad os konstruere et frit modul over vores ring med elementer svarende til n -kam som basis , definere en afbildning og udvide den til ved linearitet. Så er tensorproduktet, hvor er tensorproduktet af elementerne . Hvis antallet af moduler og alle deres baser er endelige, så $e_{{i1}},\dots ,e_{{i}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns }})$ $A_{1}\gange\prikker\gange A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rang}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rang}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rang}} \,A_{n}

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebra. — M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 s.

Noter

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Algebraer, ringe og moduler (neopr.) . - Springer, 2004. - S. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .