Konvergens i Lp

Konvergens i $L^{p}$ funktionel analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner er en form for konvergens af målbare funktioner eller stokastiske variable .

Definition

Lad være et mellemrum med mål . Så rummet af målbare funktioner, således at deres th magt, hvor , er Lebesgue integrable , er metrisk . Metrikken i dette rum har formen: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $s$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right )^{1/p}

Lad en rækkefølge være givet . Så siger vi, at denne sekvens konvergerer ind til funktionen, hvis den konvergerer i metrikken defineret ovenfor, dvs. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \i L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Skriv :. Nogle gange bruger de også betegnelsen - fra det engelske. engelsk grænse i middelværdi . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to\infty} f_n(x)$

Med hensyn til sandsynlighedsteori konvergerer en sekvens af stokastiske variable til fra det samme rum if $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $x$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Skriv :. $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminologi

Konvergens i rummet kaldes gennemsnitlig konvergens. $L^1$
Konvergens i rummet kaldes rms-konvergens. $L^{2}$

Konvergensegenskaber i $L^{p}$

Det unikke ved grænsen. Hvis og , så - næsten overalt ( - næsten sikkert ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

Pladsen er fuld . Hvis for , så eksisterer der sådan . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \til 0$ $\min(n,m) \til \infty$ $f \i L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

Konvergens i indebærer konvergens i mål ( i sandsynlighed ). Hvis , så . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$