Væsentlig mangfoldighed
Essentielle sorter er en speciel type lukkede sorter. Konceptet blev introduceret af Gromov i studiet af systolisk ulighed . [en]
Definition
En dimensionel lukket manifold siges at være essentiel, hvis der eksisterer et asfærisk topologisk rum og en kontinuerlig kortlægning , der fører den grundlæggende klasse til en homologiklasse, der ikke er nul .
Med andre ord definerer den fundamentale klasse et ikke-nul element i homologien af dens fundamentale gruppe . Mere præcist, hvis der er et ptospace , så giver kortlægningen, der inducerer en isomorfi af fundamentale grupper, en ikke-triviel homomorfisme
Her tages den fundamentale klasse i homologi med heltalskoefficienter, hvis manifolden er orienterbar , og koefficienter modulo 2 ellers.
Eksempler
- Alle lukkede overflader (det vil sige 2-manifolds) er essentielle, med undtagelse af 2-sfæren S 2 .
- Det virkelige projektive rum er væsentligt, fordi inklusion
er injektiv i homologi og
er
K(π,1)-rummet af en endelig cyklisk gruppe af orden 2.
- Alle kompakte asfæriske manifolder er essentielle (da asphericity indebærer, at manifolden i sig selv allerede er et K(G,1)-rum ).
- Især alle kompakte hyperbolske manifolder er essentielle.
- Alle linsepladser er vigtige.
Egenskaber
- Den forbundne sum af en væsentlig manifold med enhver lukket manifold er væsentlig.
- Det direkte produkt af essentielle sorter er afgørende.
- Enhver sort, der kan kortlægges fra en ikke-nul grad til en essentiel, er også afgørende.
- For væsentlige manifolder gælder den systoliske ulighed .
- Denne egenskab er den primære årsag til at introducere denne definition.
Noter
- ↑ Gromov, M.: Fyldning af Riemann-manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.