Væsentlig mangfoldighed

Essentielle sorter er en speciel type lukkede sorter. Konceptet blev introduceret af Gromov i studiet af systolisk ulighed . [en]

Definition

$n$ En dimensionel lukket manifold siges at være essentiel, hvis der eksisterer et asfærisk topologisk rum og en kontinuerlig kortlægning , der fører den grundlæggende klasse til en homologiklasse, der ikke er nul . $M$ $K$ $M\to K$ $M$ $K$

Med andre ord definerer den fundamentale klasse et ikke-nul element i homologien af dens fundamentale gruppe . Mere præcist, hvis der er et ptospace , så giver kortlægningen, der inducerer en isomorfi af fundamentale grupper, en ikke-triviel homomorfisme $[M]$ $\pi _{1}(M)$ $N$ $K(\pi _{1}(M),1)$ $M\to N$

H_{n}(M)\til H_{n}(N).

Her tages den fundamentale klasse i homologi med heltalskoefficienter, hvis manifolden er orienterbar , og koefficienter modulo 2 ellers.

Eksempler

Alle lukkede overflader (det vil sige 2-manifolds) er essentielle, med undtagelse af 2-sfæren S 2 .
Det virkelige projektive rum er væsentligt, fordi inklusion ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty ))$

er injektiv i homologi og

\mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)

er K(π,1)-rummet af en endelig cyklisk gruppe af orden 2.

Alle kompakte asfæriske manifolder er essentielle (da asphericity indebærer, at manifolden i sig selv allerede er et K(G,1)-rum ).
- Især alle kompakte hyperbolske manifolder er essentielle.
Alle linsepladser er vigtige.

Egenskaber

Den forbundne sum af en væsentlig manifold med enhver lukket manifold er væsentlig.
Det direkte produkt af essentielle sorter er afgørende.
Enhver sort, der kan kortlægges fra en ikke-nul grad til en essentiel, er også afgørende.
For væsentlige manifolder gælder den systoliske ulighed .
- Denne egenskab er den primære årsag til at introducere denne definition.

Noter

↑ Gromov, M.: Fyldning af Riemann-manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.