Mellemtone

Mellemtonestemning ( tysk mitteltönige Stimmung , engelsk meantone tuning ) eller mellemtonetmperament er en musikalsk skala baseret på en sekventiel kæde af kvinter, som hver er tempereret (reduceret i forhold til akustisk ren med samme mængde). I mellemtonestemningen har alle kvinter således det samme forhold mellem frekvenser af lyde (denne egenskab ved stemningen kaldes ofte også regularitet [1] ). Et karakteristisk træk ved mellemtonestemninger er tilstedeværelsen i dem af "mellemheltoner" (deraf navnet): i sådanne stemninger er en dur-sekund den nøjagtige halvdel af en dur-terts.

En særlig plads blandt mellemtoneskalaerne er optaget af en skala, hvor alle kvinter er tempereret med 1/4 didymium- komma : i den viser sig store tredjedele, opnået som følge af at udskyde fire femtedele, tempereret på denne måde, at være akustisk klar. Ofte refererer udtrykket "mellemtone" til dette system.

Terminologi og historiske bemærkninger

Mængden, hvormed kvinterne tempereres i mellemtoneskalaen, er angivet i dens navn, og det er normalt udtrykt i brøkdele af didyme- : kommaet G. Zarlinos (1558) [2] definition af mellemtoneskalaen ved 2/7 komma er den første dokumenterede matematisk stringente beskrivelse af temperamentskalaen (i ordets rette betydning) [3] .

1 /4-komma-betydning eller kvart-komma-betydning mellemtone tuning blev først beskrevet af J. Zarlino (1571) [4] og F. Salinas (1577) [5] . M. Pretorius (1619) [6] gav både en praktisk metode til at stemme orglet i mellemtoneskalaen til 1/4 komma, og en meget fuldstændig teoretisk beskrivelse af sidstnævnte. I denne henseende fik dette system også navnet "praetorian" ( prätorianische Stimmung ), især almindelig i tysk litteratur, startende fra det 17. århundrede (af A. Werkmeister m.fl.).

Den midterste heltone (dur sekund) af den "prætoriske" skala er i modsætning til dur (9:8) og mol (10:9) hele toner i den rene skala den nøjagtige halvdel af en ren dur terts (5) :4), og er desuden midten mellem de større og mindre hele toner.

Ifølge den generelle definition hører ensartet temperament også til mellemtoneskalaerne , da alle kvinter er tempereret med samme værdi - 1/12 af det pythagoræiske komma [7] . En hel tone i en lige temperamentsskala er den midterste, idet den deler nøjagtigt i halvdelen af den lige tempererede durterts [8] .

I russisk populærvidenskabelig litteratur (for eksempel i A.M. Volkonsky ) findes i stedet for udtrykket "mellemtone" også udtrykket "mesotonisk", som er en morfologisk overførsel af de franske og italienske udtryk ( fransk Tempérament mésotonique , italiensk Temperamento mesotonico ) [9] .

Mellemtone 1/4 komma ("praetorian")

Teoretisk grundlag

Hvis i en kæde på fire femtedele - f.eks.

CGdae 1 ,

alle femtedele er tunet rent (de har et lydfrekvensforhold på 3:2), så har den store tredjedel CE , dannet "langs dens kanter" (under hensyntagen til overførslen af lyd e 1 ned to oktaver, har et lydfrekvensforhold på 81:64), viser sig at være en stor tredjedel af det pythagoræiske system ( dyton ). Den store tredjedel af den pythagoræiske skala er bredere end den mere vellydende store tredjedel af den rene skala (5:4) ved Didyme-kommaet (81:80). Derfor, hvis hver kvint i den givne kæde er tempereret (næsten umærkeligt ændret af øret) med et fald på 1/4 af didymkommaet, så vil den store tredjedel efter to oktaver Ce 1 langs kanterne af kæden være en ren tunet, det vil sige et interval af den naturlige lyd uden slår skalaen mellem overtone 1 og 5. Forholdet mellem lydfrekvenserne i 1/4 del af didymium-kommaet er

\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4\cdot5}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4] 5}

hvilket gør forholdet mellem lydfrekvenserne for mellemtonekinten (en kvint reduceret med 1/4 af didymkommaet) lig med

\frac32:\left(\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}\right)=\sqrt[4]5

[10] eller 696,5784 cents .

Sammenligning med rene tuning intervaller

Følgende tabel sammenligner de store "praetoriske" tuning-intervaller med rene tuning- intervaller . Symbolet angiver forholdet mellem frekvenser ¼ komma [11] . $\beta$

Mellemtoneinterval pr. ¼ komma	Q	O	Frekvensforhold _	Forhold med rene tuning intervaller		Værdi i cents
forstærket prima, kromatisk halvtone	7	-fire	${\frac {25}{16{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {25}{24}}\beta$	overstiger den mindre kromatiske halvtone af ren tuning (25:24) med ¼ komma	76,05
lille sekund, diatonisk halvtone	-5	3	${\frac {8}{5{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {16}{15}}\beta$	overgår den mindre diatoniske halvtone af ren stemning (16:15) med ¼ komma	117,11
dur sekund, (mellem) hel tone	2	-en	${\frac {\sqrt {5}}{2}}$	$\ ={\frac {10}{9}}\beta ^{2}={\frac {9}{8}}:\beta ^{2}=$ $\ ={\sqrt {{\frac {10}{9}}\cdot {\frac {9}{8}}}}={\sqrt {\frac {5}{4}}}$	mere end en mindre hel tone (10:9) med ½ komma og mindre end en større hel tone (9:8) med ½ komma; midt imellem disse hele toner; nøjagtig halvdelen af en ren dur terts (5:4)	193,16
mindre tredjedel	-3	2	${\frac {4}{5}}{\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {6}{5}}:\beta$	mindre end en ren moltredel (6:5) med ¼ komma	310,26
større tredje	fire	-2	${\frac {5}{4))$		er en ren større tredjedel	386,31
kvart	-en	en	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {4}{3}}\beta$	udkonkurrerer den perfekte fjerde (4:3) med ¼ komma	503,42
kvint	en	0	${\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {3}{2}}:\beta$	mindre end en ren femtedel (3:2) gange ¼ komma	696,58
mindre sjette	-fire	3	${\frac {8}{5}}$		er en ren mol sjette	813,69
major sjette	3	-en	${\frac {5}{2{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {5}{3}}\beta$	mere end en ren dur sjettedel (5:3) med ¼ komma	889,74

Bygning

Grundtone: C, begyndelsen af bygningen Es og videre langs den femte cirkel

Opbygningen af skalaen kan udføres som i det pythagoreiske system , idet man kun tager udgangspunkt i ikke en ren kvint, men en mellemtone, som har et forhold mellem frekvenser:

$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$ , det vil sige, sådan en mellemtone kvint er omkring 5 cents allerede ren.

Bemærk notation	Forholdet mellem frekvens og tonic
Es	$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot 4$
B	$\frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot 4$
F	$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25} \cdot 2$
C	$\frac{1}{1} = 1$
G	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$
D	$\frac{9}{4}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot \frac{1}{2}$
EN	$\frac{27}{8}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{1}{2}$
E	$\frac{81}{16}:\frac{81}{80} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
H	$\frac{243}{32}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}25} \cdot \frac{1}{4}$
Fis	$\frac{729}{64}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}5} \cdot \frac{1}{8}$
Cis	$\frac{2187}{128}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}75} \cdot \frac{1}{16}$
Gis	$\frac{6561}{256}:\left(\frac{81}{80}\right)^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{25}{16}$

Således kan følgende intervaller opnås

Otte rene større tredjedele: Es-G, BD, FA, CE, GH, D-Fis, A-Cis, E-Gis
Elleve mellemtone femtedele: Es-B, BF, FC, CG, GD, DA, AE, EH, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
En forøget ulvfemtedel ( formindsket sjettedel ): Gis-Es med frekvensforhold

2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{16}{25} = \frac{1024 }{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\ ,\mathrm{Cent}

Fire noget oppustede store tertser ( formindskede fjerdedele ): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C

\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{Cent}

Tilstedeværelsen af oppustede tredjedele er forbundet med tilstedeværelsen af en lille diesa , det vil sige med uligheden på tre store tredjedele til en oktav.

Andre mellemtoner

Noter

↑ Udtrykket går tilbage til en:Р. Bozanquetu . I en anden terminologi (især iboende i den moderne matematiske teori om musikalske stemninger) er en regulær stemning (temperament) en abstrakt matematisk stemning bestående af et uendeligt antal lyde (trin), hvis relative frekvenser dannes (på en naturlig måde) en endeligt genereret fri Abelsk gruppe - jf. f.eks. en:Regular Temperament .
↑ Istitutioni harmonice (1. udg., 1558) II, 42-47.
↑ Se for eksempel Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. - NY: Cambridge University Press, 2002. - S. 193-222. — ISBN 0521623715 .
↑ Dimostrationi harmoniche (1. udg., 1571), s. 263-269. I litteraturen, begyndende med A. J. Ellis , har den opfattelse længe hersket, at 1/4 komma-mellemtonestemningen først blev beskrevet af P. Aaron i det sidste kapitel af Il Toscanello della Musica (1523). Arons beskrivelse er dog af generel karakter uden at specificere temperamentværdierne. Hans krav om at tredjedele skal være "lydende og klare, det vil sige så forenede som muligt" ( sonora & giusta, cioe unita al suo possibile ) kan ikke altid tages bogstaveligt som et krav om deres akustiske renhed (5:4), da yderligere på henviser han eksplicit til deres temperament.i din indstilling ( per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste ). For en detaljeret analyse af P. Aarons temperament, se f.eks. Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. - 1974. - T. 28 . - S. 129-151. ; JSTOR20532169 . Derudover kalder Zarlino, der definerer en mellemtoneskala med temperamenter på kvinter pr. 1/4 komma, det for nyt .
↑ De musica libri septem , Liber III, Cap. XIII-XIV. Salinas bemærker, at han kom til dette system uafhængigt af Zarlino: "Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem" ("I min ungdom" Jeg var i Rom, det forekom mig, at dette [præcis] jeg opfandt, og senere fandt jeg ud af, at G. Zarlino sagde det samme, og hvad han sagde, var på ingen måde anderledes end det, jeg opfandt.") Salinas til Rom fandt sted i 1538 - længe før udgivelsen af ham og Zarlino af beskrivelsen af mellemtonesystemet for 1/4 komma.
↑ Syntagma Musicum , T. II De Organographia , IV Theil, Cap. IV
↑ Da 1/12 af det pythagoræiske komma praktisk talt er lig med 1/11 af didyme-kommaet (forskellen mellem disse dele af kommaet er mindre end 0,00012 cents ), er det lige temperament-system også klassificeret af mange forfattere som et mellem- tonesystem på 1/11 (didyma) komma - forskellen mellem dette system fra et præcist beregnet lige temperament har kun en formel matematisk karakter.
↑ Nogle gange, formelt og matematisk, omtales det pythagoræiske system også som mellemtonesystemer , hvor alle kvinter i femtekæden er rene, det vil sige ikke tempererede, eller med andre ord "tempereret til nul." Fra dette synspunkt af pythagoræerne er systemet "mellemtonesystem med 0 dele af komma." En hel tone på den pythagoræiske skala (9:8) er den nøjagtige halvdel af ditonen , det vil sige den store tredjedel af den pythagoræiske skala (81:64).
↑ I den engelske videnskabelige litteratur i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede blev udtrykket mesotonisk også brugt (for eksempel af A. J. Ellis ).
↑ Forholdet mellem frekvenserne af lydene i en femtedel af det "prætoriske" system kan også fås fra ligningen, der udtrykker forholdet "fire femtedele af det "prætoriske" system uden to oktaver giver en større tredjedel af en ren stemning." $x$ $x^4\,:\,(2/1)^2=5/4$
↑ Altså . $\beta=\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}$

Litteratur

Volkonsky, A. Grundlæggende om temperament. - M . : Komponist, 1998.
Lindley, M. Historical Survey of Meantone Temperaments to 1620 // Early Keyboard Journal. - 1990. - T. 8 .
Leedy, D. Et ærværdigt temperament genopdaget // Perspectives of New Music. — Bd. 29 , nr. 2 (Sommer, 1991), s. 202-211 ( JSTOR #833439 )
Lindley, M. Femtende århundredes beviser for middeltonet temperament // Proceedings of the Royal Musical Association. - (1975-1976). - T. 102 . - S. 37-51. ( JSTOR #766092 )
Lindley, M. Luter, violer og temperamenter. - Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1984. - S. 43-66. — ISBN 0521288835 .
Lindley M., Turner-Smith RF Matematiske modeller af musikalske skalaer: en ny tilgang. - Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. - S. 52-54. — ISBN 3922626661 .
Lindley, M. Zarlinos 2/7-komma betød ét temperament // Music in Performance and Society. Essays in Honor of Roland Jackson (Detroit Monographs in Musicology) / M. Cole og J. Koegel, red. - Michigan: Harmonie Park Press, 1997. - ISBN 0899901069 .
Barbour, J. Murray. Tuning og temperament: En historisk undersøgelse . - New York: Dover Publications, 2004. - S. 25-44 . — ISBN 0486434060 . (Genoptryk af den første udgave 1951, East Lancing, Michigan State College Press)

musikalsk skala
Pythagoras system naturlig tuning Mellemtone Lige temperament