Spinor gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. marts 2019; verifikation kræver 1 redigering .

En spinorgruppe er en delmængde af elementer i Clifford-algebraen over (med skalarprodukt ) bestående af elementer af formen , hvor er enhedsvektorer . Operationen i spinorgruppen er multiplikation i Clifford-algebraen. $V$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$ $q_{i}\in V$

Spinorgruppen over det euklidiske rum er normalt betegnet med . Der er en kort nøjagtig rækkefølge $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatørnavn {Spin} (n)$

1\til \mathbb {Z} _{2}\til \operatørnavn {Spin} (n)\til \operatørnavn {SO} (n)\til 1

Spinorgruppen er således en to-arks belægning af den specielle ortogonale gruppe . En homomorfi kan konstrueres som følger: Hver enhedsvektor q kan associeres med en refleksion i forhold til et hyperplan vinkelret på q . Således kan et element i spinorgruppen forbindes med sammensætningen af refleksioner $\operatørnavn {SO} (n)$ $\operatørnavn {Spin} (n)\til \operatørnavn {SO} (n)$ ${\displaystyle R_{q))$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n))

som hører til gruppen . De projektive repræsentationer af den omfattede gruppe er i en-til-en-korrespondance med repræsentationerne af dens dækning . $\operatørnavn {SO} (n)$ $\operatørnavn {SO} (n)$ $\operatørnavn {Spin} (n)$

Struktur af de første spinorgrupper

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1))

{\displaystyle \operatørnavn {Spin} (3)\simeq \operatørnavn {Sp} (1)\simeq \operatørnavn {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\time }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\time }\operatorname { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3))

\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatørnavn {Spin} (6)\simeq \operatørnavn {SU} (4)