Galois korrespondance

Galois-korrespondance ( Galois- forbindelse ) er en ordensteoretisk relation mellem to matematiske strukturer , svagere end isomorfisme , og generaliserer forbindelsen fra Galois-teorien mellem underfelter af en udvidelse og et inklusionsordnet system af undergrupper af den tilsvarende Galois-gruppe . Begrebet kan udvides til enhver struktur, der er udstyret med en forudbestillingsrelation .

Konceptet blev introduceret af Garrett Birkhoff i 1940, og han og Oystin Ore etablerede de grundlæggende ejendomme i 1940'erne [1] . Den oprindelige definition er antimonotone , senere i både generel algebra og applikationer begyndte den monotone definition , alternativ og dobbelt til den i kategoriteoretisk forstand , at blive brugt oftere .

Galois-lukning er en operation, der er en lukning dannet af sammensætningen af komponenterne i Galois-korrespondancen; i det antimonotone tilfælde danner begge mulige sammensætninger af korrespondancefunktionerne lukninger, i det monotone tilfælde kun en af sådanne sammensætninger.

Galois-korrespondancen er meget udbredt i applikationer, især den spiller en grundlæggende rolle i analysen af formelle begreber (metode til analyse af data ved hjælp af gitterteori ).

Antimonotone Galois korrespondance

Antimonotone definition blev oprindeligt givet af Birkhoff og svarer direkte til sammenhængen i Galois teori. Ifølge denne definition kaldes ethvert funktionspar og mellem delvist ordnede sæt og som opfylder følgende relationer en Galois-korrespondance: $\varphi :A\to B$ $\psi :B\to A$ $EN$ $B$

hvis , så (antimonotonicitet ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
hvis , så (antimonotonicitet ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (omfang ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (omfang ). $\varphi \circ \psi$

Sammensætningerne og viser sig at være monotone og har også den idempotente egenskab ( og ), således er de lukninger på hhv . $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $EN$

Definitionen af en antimonotone Galois-korrespondance for antimonotone funktioner og følgende betingelse ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): hvis og kun hvis . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

I analogi med polarer i analytisk geometri kaldes funktioner relateret til den antimonotone Galois-korrespondance polariteter [4] .

Monotonisk Galois-korrespondance

Monotone funktioner og er i monoton Galois-korrespondance, hvis følgende betingelser er opfyldt: $\gamma :A\to B$ $\delta :B\to A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Svarende til denne definition er opfyldelsen af en betingelse dobbelt til Schmidt-betingelsen for antimonotone varianten: hvis og kun hvis , tages det ofte som den oprindelige definition [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

Ved en monoton Galois-korrespondance taler man også om funktioners konjugation , da en sådan korrespondance i kategoriteorien giver adjunkte funktiontorer . I modsætning til den antimonotoniske form, hvor korrespondancens ( polaritet ) komponenter er symmetriske, i den monotone korrespondance skelnes den øvre konjugerede funktion - hvis værdier deltager i tilstanden til højre i ordensrelationerne (i denne definition - , og det nederste konjugat - hvis værdier deltager i rækkefølgerelationerne fra betingelsen til venstre ( ) Nogle gange siges den nedre adjointfunktion at være skæv- adjoint (i hvilket tilfælde den øverste blot kaldes "adjoint"). $\gamma$ $\delta$

Lukningsoperatoren i den monotone Galois-korrespondance er sammensætningen , mens sammensætningen ikke er en lukning, så i stedet for at være omfattende, er den omvendte betingelse opfyldt for den (en funktion med et sådant sæt egenskaber kaldes nogle gange en nuklear operator [6 ] eller en co-lukning). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Adjoint functors

Enhver poset kan betragtes som en kategori , hvor for hvert par af objekter sættet af morfismer består af en enkelt morfisme, hvis og er tom ellers. For kategorier, der er genereret på denne måde fra delvist ordnede sæt og , er mappings og , som er i en monoton Galois-korrespondance, adjoint functors . $(A,\leqslant )$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $EN$ $B$ $\gamma :A\to B$ $\delta :B\to A$

De konjugerede funktorer er også afbildningerne og ( er en kategori dual til , dvs. opnået ved inversion af morfismer), som er i den antimonotone Galois-korrespondance [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} ))$ $EN$

Egenskaber

Sammensætning af korrespondancer

Galois-korrespondancen, både i antimonotonisk og monotonisk form, kan underkastes kompositionsoperationen - hvis par af kortlægninger og er angivet i Galois-korrespondancen , så er sammensætningen: $(\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)$ $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\cirkel \psi _{2})

er igen Galois-korrespondancen.

Eksempler

Galois teori og generaliseringer

I Galois-teorien etableres en overensstemmelse mellem systemet af mellemliggende underfelter af en algebraisk udvidelse af et felt og systemet af undergrupper i Galois-gruppen i denne udvidelse. $L\upset K$

Et eksempel fra Galois-teorien kan naturligt generaliseres: I stedet for automorfigruppen i et felt kan man overveje en vilkårlig gruppe , der virker på kortlægningssættet , og mappinger mellem inklusionsordnede booleanere og . I dette tilfælde er tilknytningerne og defineret som følger: $G$ $U$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\til {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(vælger en undergruppe i , efterlader alle punkterne på plads under handlingen ),

G

u\in X

\cdot

\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}

(knytter sættet af faste punkter af automorfismer under handlingen til sættet )

S\subseteq G

\cdot

er i antimonotone Galois-korrespondancen [7] .

Den følgende generalisering består i at overveje vilkårlige mængder, mellem hvilke der er givet en vilkårlig binær relation , og afbildninger mellem boolerne af disse sæt og defineret på denne måde: $\star \subseteq A\ gange B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

\varphi (X)=\{y\in B\midt \forall (x\in X)x\star y\}

{\displaystyle \psi (Y)=\{x\in A\midt \forall (y\in Y)x\star y\))

I dette tilfælde, og er også i antimonotone Galois korrespondance. $\varphi$ $\psi$

Boolean og generaliseringer

En inklusionsordnet boolesk af et vilkårligt sæt og en fast delmængde af det kan associeres med en monoton Galois-korrespondance mellem kortlægninger defineret som følger: ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\kop (A\setminus F)

En sådan relation kan etableres i enhver Heyting-algebra , især i enhver boolsk algebra (i boolske algebraer med hensyn til logikkens algebra spilles rollen som den øvre konjugatfunktion af konjunktionen , og den nedre konjugat af den materielle implikation ).

Komplet gitter

Noter

↑ Gretzer, 1981 , s. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (tysk) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , nej. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , s. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , s. 163.
↑ Giertz, 2003 , s. 22.
↑ Giertz, 2003 , s. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , s. 114.

Litteratur

Birkhoff G. Gitterteori . — M .: Nauka , 1984. — 567 s.
G. Gierz, K.H. Hofmann, K. Keimel, J.D. Lawson, M. Mislow, D.S. Scott . Galois-forbindelser // Kontinuerlige gitter og domæner. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 s. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, bind 93).
Gretzer G. Generel teori om gitter. — M .: Mir , 1981. — 456 s.
McLane S. Kapitel 4. Adjoint functors // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øystein Ore. Galois Connexions (engelsk) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Bd. 55 . - S. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .