Spor (feltteori)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. juli 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Trace er en kortlægning af elementerne i den endelige udvidelse af feltet til det indledende felt K , defineret som følger: $E\forstyrret K$

Lad E være en endelig forlængelse K af grad , være et element i feltet E. Da E er et vektorrum over et felt K , definerer dette element en lineær transformation . Denne transformation kan på et eller andet grundlag være forbundet med matrixen . Sporet af denne matrix kaldes sporet af grundstoffet α . Da denne kortlægning på et andet grundlag vil svare til en lignende matrix med samme spor, afhænger sporingen ikke af valget af basis, det vil sige, at hvert element i udvidelsen er unikt forbundet med dets spor. Det er betegnet $n=[E:K]$ $\alfa \i E$ $x\mapto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ eller, hvis det er klart, hvilken udvidelse det drejer sig om, bare . ${\text{Tr}}(\alpha )$

Spor egenskaber

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ på $c\in K$
Hvis E er en separerbar forlængelse af , så er en ikke-nul funktionel; hvis den ikke kan adskilles, så . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
Sporet er transitivt, det vil sige for en kæde af forlængelser, vi har $K\delmængde E\delmængde F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alpha )$
Hvis er en simpel algebraisk forlængelse og er et minimalt polynomium α, så $E=K(\alpha )$ ${\displaystyle f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0))$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Spor udtryk i form af automorfismer af E over K

Lad σ 1 ,σ 2 …σ m være alle automorfier af E , der efterlader elementer af K faste . Hvis E er adskillelig, så er m lig med graden [E:K]=n . Så er der følgende udtryk for sporet:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Hvis E ikke kan adskilles, så er m≠n , men n er et multiplum af m , og kvotienten er en vis grad af karakteristisk p: n= pi m .

Derefter ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Eksempel

Lad K være feltet for reelle tal og E feltet for komplekse tal . Så er sporet af nummeret . Sporet af et komplekst tal kan beregnes ved hjælp af formlen , og det stemmer godt overens med det faktum, at kompleks konjugation er den eneste automorfi i feltet af komplekse tal. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Se også

Norm (feltteori)

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967