Christoffel symboler

Christoffel-symboler (eller Christoffeli ) er koefficienterne for det koordinerede udtryk for den affine forbindelse , især Levi-Civita-forbindelsen . Opkaldt efter Elvin Bruno Christoffel . Anvendes i differentialgeometri , generel relativitetsteori og relaterede teorier om tyngdekraft . Vises i koordinatudtrykket for krumningstensoren . Samtidig er symbolerne i sig selv ikke tensorer.

Normalt betegnet med ; nogle gange, efter Christoffels originale notation, bruges symbolet [1] ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k))$ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Nedenfor er Einsteins summeringsregel brugt , dvs. over gentagne hævet og sænket, er summering underforstået.

Historie

Symboler optrådte første gang i Christoffels artikel "Om transformationen af homogene differentialudtryk af anden grad" ( tysk: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades - J. fur Math., nr. 70, 1869). I den overvejede forfatteren betingelserne for sammenfaldet af Riemannsk geometri , defineret af to forskellige metriske former. Uafhængigt af Christoffel blev et lignende problem løst af Rudolf Lipschitz , hvis artikel udkom et år senere [1] .

Et elementært koncept af Christoffel-symboler

Introduktion

En visuel repræsentation af Christoffel-symbolerne kan opnås ved at bruge eksemplet med et polært koordinatsystem . I dette system er koordinaterne for et punkt afstanden fra det til polen og retningsvinklen fra den polære akse. ${r}$ $\varphi$

Koordinaterne for vektoren , som i det rektangulære koordinatsystem , bør betragtes som differentialer (uendeligt små stigninger) af disse størrelser: . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Lad der være en vektor med komponenter , hvor har den geometriske betydning af projektionen af vektoren på den radiale stråle (passerer gennem begyndelsen af vektoren), og er den vinkel, hvor vektoren ses fra polen. I et rektangulært koordinatsystem ændres vektorkomponenterne ikke under parallel translation. Dette er ikke tilfældet i det polære koordinatsystem ( se figur 1 og 2 ). $\fedsymbol A$ $(a,\,\alfa)$ $-en$ $\fedsymbol A$ $\alfa$

Christoffel-symbolerne udtrykker blot ændringen i vektorkomponenterne under dens parallelle overførsel.

Parallel oversættelse langs koordinatlinjer

Når vektoren forskydes langs den radiale stråle med en afstand , ændres dens komponent naturligvis ikke, men dens anden koordinat ( ) falder ( fig. 1 ). Værdien af vektoren forbliver derfor uændret . Herfra viser det sig (forsømmer værdierne af den anden og højere orden af lillehed ): ${\rm d}r$ $-en$ $\alfa$ $|A|^2= a^2 + r^2\alfa^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Parallel translation langs buen ændrer både koordinater og ( fig. 2 ). Det er klart, , , og derfor: $-en$ $\alfa$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Hertil kommer, siden , , og , derefter $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alpha$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Parallel oversættelse i en vilkårlig retning

For en vilkårlig lille forskydning af vektoren (når både og og ændres), skal ændringerne i komponenterne tilføjes : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

De resulterende udtryk har en fælles struktur: ændringen i vektorkomponenterne er proportional med alle komponenter i vektoren og proportional med størrelsen af vektorskiftet. Proportionalitetskoefficienterne (uden fælles minus) kaldes Christoffel-symboler .

I mere generel notation kan , , og skrives (huske summen over gentagne indekser ): $x^1=r$ $x^2=\varphi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alfa$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Her er Christoffel-symbolerne , , og alle de andre lig med nul. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

I et rektangulært koordinatsystem er alle Christoffel-symboler lig med nul, da vektorkomponenterne ikke ændres under parallel translation. Heraf kan det konkluderes, at Christoffel-symbolerne ikke danner en tensor : hvis en tensor er nul i et hvilket som helst koordinatsystem, så er den nul i alle andre koordinatsystemer.

Christoffel-symboler af den første og anden slags

Christoffel-symbolerne af den anden slags kan defineres som koefficienterne for udvidelsen af den kovariante afledte af koordinatvektorer med hensyn til grundlaget: $\Gamma^{k}_{ij}$ $\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$

\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.

Christoffel symboler af den første slags : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in} }{\partial x^{j))}+{\frac {\partial g_{jn)){\partial x^{i))}-{\frac {\partial g_{ij)){\partial x^ {n}}}\right).

Udtryk i form af den metriske tensor

Christoffel-symbolerne for Levi-Civita-forbindelsen til et kort kan bestemmes ud fra fraværet af vridning, dvs. $x^i$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

og betingelsen om, at den kovariante afledte af den metriske tensor er lig med nul: $g_{{ik}}$

0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik)){\partial x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

For at forkorte notationen er nabla-symbolet og partielle afledte symboler ofte udeladt, i stedet for dem placeres et semikolon ";" før det indeks, hvormed differentieringen foretages. i tilfælde af kovariant og komma "," i tilfælde af partiel afledt. Så udtrykket ovenfor kan også skrives som $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell}-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell }.

Eksplicitte udtryk for Christoffel-symbolerne af den anden slags opnås ved at tilføje denne ligning og de to andre ligninger, som opnås ved cyklisk permutation af indekser:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell ))}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell}}{\partial x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

hvor er den kontravariante repræsentation af metrikken, som er matrixen invers til , findes ved at løse systemet af lineære ligninger . $g^{ij}$ $g_{ij}$ $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$

Invariant notation

Invariant notation for forbindelse er abstraheret fra et specifikt koordinatsystem og er derfor mere at foretrække til at bevise matematiske teoremer.

Lad X og Y være vektorfelter med komponenter og . Så er den k -te komponent af den kovariante afledte af feltet Y med hensyn til X givet ved $X^{i}$ $Y^{k}$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).

Den torsionsfri tilstand for en forbindelse :

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

svarer til symmetrien af Christoffel-symbolerne i to subskripter:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Ændring af koordinater

Selvom Christoffel-symbolerne er skrevet i samme notation som komponenterne i tensorer , er de ikke tensorer , fordi de ikke transformeres som tensorer, når de skifter til et nyt koordinatsystem. Især ved at vælge koordinater i nærheden af ethvert punkt, kan Christoffel-symbolerne lokalt gøres lig med nul (eller tilbage ikke-nul), hvilket er umuligt for en tensor.

Når variabler erstattes af basisvektorer, transformerer de kovariant: $(x^{1},\dots,x^{n})\$ $(y^{1},\dots,y^{n})$

{\frac {\partial }{\partial y^{i))}={\frac {\partial x^{k)){\partial y^{i))}{\frac {\partial } {\partial x^{k))},

hvorfra Christoffel symboltransformationsformlen følger:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\ frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\ delvis x^{r))}+{\frac {\partial y^{k)){\partial x^{r))}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r)){ \partial y^{i}\partial y^{j}}}.

Bindestregen betyder y -koordinatsystemet . Christoffel-symbolerne forvandles således ikke som en tensor. De repræsenterer et mere komplekst geometrisk objekt i tangentrum med en ikke-lineær lov om transformation fra et koordinatsystem til et andet.

Bemærk . Man kan for eksempel se ud fra definitionen, at det første indeks er tensorialt, det vil sige, at Christoffel-symbolerne ifølge den transformeres som en tensor.

Christoffel-symboler i forskellige koordinatsystemer

Ved at bruge symbolets udtryk gennem den metriske tensor , eller ved at transformere koordinater, kan du få deres værdier i ethvert koordinatsystem. I mekanik og fysik er ortogonale krumlineære koordinatsystemer mest almindeligt anvendt . I dette tilfælde er Christoffel-symbolerne med lige koefficienter udtrykt i form af Lamé-koefficienterne (diagonale elementer i den metriske tensor) , og alle andre er nul. $H_\beta$

Christoffel-symbolerne af den første slags udtrykkes som følger:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}

på

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta )){\partial x^{\gamma ))}.

Christoffel-symboler af den anden slags:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\ beta }}{\partial x^{\gamma }}}

på

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.

Værdier for fælles koordinatsystemer:

I det kartesiske koordinatsystem : , så den kovariante afledte er den samme som den partielle afledte. $\{x,y,z\}$ $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$
I et cylindrisk koordinatsystem : , . Resten er nul. $\{r,\phi ,z\}$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
I det sfæriske koordinatsystem : , , , , . Resten er nul. $\{r,\theta ,\phi \}$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatørnavn {ctg} \theta$

Variationer og generaliseringer

Forskel på to affine forbindelser

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y

er en tensor. Hvis defineret i kortet som en forbindelse, hvor tensorfelterne med konstante komponenter er parallelle, er Christoffel'erne komponenterne i den resulterende tensor . I dette tilfælde indebærer fraværet af torsion for begge forbindelser tensorens symmetri ${\tilde {\nabla ))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Gamma$

\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X

Du kan vælge en anden basisforbindelse . For eksempel ved at erklære et vilkårligt felt af ortonormale rammer parallelt; sådan gøres det i moving frame-metoden . Da forbindelsen i dette tilfælde kan have en torsion uden nul , så generelt . Men da begge forbindelser er Riemannske, gælder et andet lige så nyttigt forhold: ${\tilde {\nabla ))$ ${\tilde {\nabla ))$ $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

Med andre ord er det en 1-form på en manifold med værdier i antisymmetriske operatorer på tangentrummet. $\Gamma$ $\Gamma _{X}$

Se også

Noter

↑ 1 2 Det 19. århundredes matematik. Bind II: Geometri. Teori om analytiske funktioner / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M. : Nauka, 1981. - S. 89. - 270 s.

Litteratur

Dimitrienko Yu. I. Tensorregning. - M . : Højere skole, 2001. - 575 s. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Forelæsninger om tensoranalyse. - M . : Moscow Universitys forlag, 1974. - 206 s.

Chernavsky A. V. Differentialgeometri, 2 kurser .