Fri gruppe

En fri gruppe i gruppeteori er en gruppe , hvor der er en delmængde , således at hvert element er skrevet unikt som produktet af et endeligt antal elementer og deres invers . (Unikhed forstås op til trivielle kombinationer som .) Det siges at være (frit) genereret og skrive: eller hvis der er et sæt elementer. $G$ $S\undersæt G$ $G$ $S$ $st=su^{{-1}}ud$ $G$ $S$ $F_{S}$ $F_{n},$ $S$ $n$

Et beslægtet, men anderledes koncept: en fri Abelsk gruppe (som generelt ikke er en fri gruppe).

Konstruktiv definition

Det er muligt at præsentere en eksplicit konstruktion af frie grupper og derved bevise deres eksistens [1] [2] . Vi vil betragte elementerne i sættet som "symboler", og for hvert symbol fra introducerer vi symbolet ; sættet af sidstnævnte vil blive betegnet med . Lade $S$ $s$ $S$ $s^{{-1}}$ $S^{{-1}}$

T=S\kop S^{{-1}}

Lad os definere ordet over som en endelig kæde af (muligvis gentagne) tegn fra , skrevet efter hinanden. Sammen med operationen af sammenkædning (limning, attribution) bliver sættet af ord over en halvgruppe . Vi vil antage, at der i sættet af ord er et tomt ord , som ikke indeholder symboler. Dermed får vi en monoid af ord overstået $S$ $T$ $S$ $\varepsilon$ $S.$

For eksempel for . , to ord: $S=\{a,b,c\}$ $T=\{a,a^{{-1}},b,b^{{-1}},c,c^{{-1}}\}$

\alpha =abc^{{-1}}a,~~\beta =b^{{-1}}ba^{{-1}}

og deres sammenkædning:

\gamma =\alpha \beta =abc^{{-1}}ab^{{-1}}ba^{{-1}}

For eksempel . $\alpha \varepsilon =\alpha =abc^{{-1}}a$

Dernæst introduceres ordet reduktionsreglen. Hvis symbolet (symbolet) fra i et eller andet ord følger (foran) det tilsvarende symbol fra så kaldes fjernelsen af dette symbolpar reduktion . Et ord kaldes reduceret, hvis det ikke længere kan reduceres. En fuldstændig reduktion er en sekventiel anvendelse af reduktion på et givet ord, indtil det bliver reduceret. For eksempel, fra et ord (se eksemplet ovenfor), efter fuldstændig reduktion, opnås et reduceret ord: Denne definition er korrekt: det er let at vise, at en anden rækkefølge for at udføre flere reduktioner, så længe de er mulige, fører til et enkelt resultat. $S$ $S^{{-1}},$ $\gamma$ $abc^{{-1}}.$

En fri gruppe genereret af et sæt (eller en fri gruppe over ) er en gruppe af reducerede ord over med sammenkædningsoperationen (efterfulgt af en fuldstændig reduktion af resultatet om nødvendigt). $F_{S}$ $S$ $S$ $S$

Egenskaber

Alle frie grupper genereret af sæt med lige stor styrke er isomorfe. Kardinalitet af det sæt, der genererer en given fri gruppe, kaldes dets rang .
En gratis gruppe er isomorf i forhold til et gratis kopiprodukt . $F_{n}$ $n$ $\mathbb {Z}$
Nielsen-Schreiers sætning : hver undergruppe af en fri gruppe er fri.
Enhver gruppe er en faktorgruppe af en eller anden fri gruppe i forhold til nogle af dens undergrupper H . Generatorer kan tages som . Så er der en naturlig epimorfi . Kernen H i denne epimorfi er sættet af tildelingsrelationer . $G$ $F_{S}$ $S$ $G$ $f:\;F_{S}\til G$ $G=\lang S,H\rangle$
Kommutanten af en fri gruppe af endelig rang har uendelig rang. For eksempel er kommutatoren for en fri gruppe genereret af to elementer en fri gruppe genereret af alle kommutatorer . $F(a,b)$ $[a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0$

Generisk egenskab

En fri gruppe er i en eller anden forstand den mest generelle gruppe, der genereres af et sæt . For enhver gruppe og enhver kortlægning af mængder er der nemlig en unik gruppehomomorfi, for hvilken følgende diagram er kommutativ: $F_{S}$ $S.$ $G$ $f\kolon S\til G$ $\varphi \colon F_{S}\til G,$

Der er således en en-til-en overensstemmelse mellem sæt af kortlægninger og homomorfismer . For en ikke-fri gruppe ville relationerne i gruppen pålægge begrænsninger på de mulige billeder af gruppens genererende elementer. $S\til G$ $F_{S}\til G$

Denne egenskab kan tages som definitionen af en fri gruppe [3] , mens den kun defineres op til isomorfi , som ethvert universelt objekt . Denne egenskab kaldes frie gruppers universalitet . Generatorsættet kaldes gruppens basis . Den samme frie gruppe kan have forskellige baser. $S$ $F_{s}$

Fra et kategoriteoretisk synspunkt er en fri gruppe en funktor fra kategorien af mængder ${\mathbf {Sæt}}$ til kategorien af grupper ${\mathbf {Grp}}$ , som er venstre adjoint af den glemsomme funktor . ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Noter

↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorisk gruppeteori . - M . : Mir, 1980. - S. 13 .
↑ Kap. 5, § 14 // Fundamentals of group theory / Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. - 3. udg. - M. : Nauka, 1982. - 288 s.
↑ McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Generel Algebra / Under det generelle. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .